UP_nadezhnost_i_diagnostika

когда в ее составе присутствуют k-1 исправных элементов. Заметим, что для простоты здесь и далее не учитывается ненадежность схемы голосования.

Пример. Пусть система состоит из трех одинаковых элементов, характеризующихся на заданном интервале времени надежностью pe 0,7 ;

qe = 1- pe = 0,3 и пусть используется правило голосования 2/3. При этом

отказ системы наступает, когда один из ее элементов еще исправен. Тогда ВБР системы при n=3 и k=2 равна

ps (t) pe3 3pe2 qe 0,784 .

1.3.Резервированные системы с параллельным включением резервных элементов

Недостаток мажоритарной системы, состоящий в неполном использовании аппаратурных ресурсов, преодолевается при применении резервирования («горячего» или «холодного») с параллельным включением резервных элементов. Эти системы так же, как и предыдущие, относятся к классу резервированных систем без восстановления. При «горячем» резервировании (рис. 1.3), как и в случае с мажоритарными системами, обычно нет четкого разделения на основные и резервные элементы, поскольку питание включено на всех элементах, и во всех элементах

специальный решающий орган (РО) запрещает участие данного элемента в формировании выходной информации системы.

11

Выражение для оценки надежности ps (t) системы по надежности pe (t)

ее элементов в случае «горячего» резервирования и при условии независимости отказов элементов (когда отказ одного элемента не приводит к отказу другого) имеет вид

отказов элементов постепенно деградируют, снижая свою надежность. При этом суммарная интенсивность отказов элементов системы также постепенно снижается – сначала она равна n , затем (n 1) и т.д.

Случай «холодного» резервирования будет рассмотрен в разделе 2. Пример. Пусть система, содержащая один элемент, имеет надежность

на заданном интервале времени t: pe (t) 0,7 . Тогда при «горячем» трехкратном резервировании ее надежность в соответствии с (1.9) равна:

ps (t) 1 (1 0,7)3 0,973.

Вопросы

1.Понятия отказа, работоспособного состояния и надежности технической системы.

2.Понятие аппаратурного отказа навигационной системы.

3.Понятие информационного отказа и информационного нарушения навигационной системы.

4.Понятия аппаратурной надежности навигационной системы.

5.Понятия информационной надежности навигационной системы.

6.Интенсивность возникновения отказов.

7.Экспоненциальный закон надежности.

8.Основные характеристики надежности невосстанавливаемых систем.

9.Основные характеристики надежности восстанавливаемых систем.

10.Определение надежности простой системы по надежности ее

элементов.

2. Простейший поток событий и марковские модели функционирования технической системы

2.1.Потоки событий. Простейший поток и его свойства

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то обычно случайные моменты времени.

Примерами потоков могут служить: поток двигающихся по некоторому маршруту судов, поток отказов системы, поток выбросов случайного процесса за заданный уровень и т.д. На практике чаще всего встречаются

12

потоки событий, для которых моменты наступления событий и, как следствие, промежутки времени между ними случайны. В качестве математической модели реальных потоков, как правило, используется так называемый простейший (стационарный пуассоновский) поток. Этот поток обладает тремя свойствами: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Определим эти свойства.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на интервал времени (0,t) зависит только от длины интервала и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот интервал.

Здесь и далее будем полагать, что точка начала координат (t=0) произвольно может быть размещена на оси времени, отмечая, например, момент начала работы рассматриваемой системы.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на любой другой интервал.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на достаточно малый интервал двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль, поскольку можно доказать [6], что при суперпозиции достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны, ординарны и сравнимы по интенсивности), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем больше потоков суммируется.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В

таком потоке интенсивность (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени (t) , тогда как для простейшего потока const .

Простейший поток дополнительно называется пуассоновским, поскольку время между событиями в этом потоке распределено по экспоненциальному закону и, как следствие, число событий, попадающих на любой из временных интервалов, распределено по закону Пуассона. Первый факт является следствием трех базовых свойств простейшего потока. Его справедливость следует из соотношений, которые были рассмотрены в предыдущем разделе при обсуждении экспоненциального закона надежности технической системы и основаны на выражении (1.3) для интенсивности возникновения отказов. Проанализируем эти соотношения еще раз уже в новом контексте с учетом свойств простейшего потока.

Пусть некоторое событие потока возникло в момент времени t=0. Запишем вероятность dq(t) появления следующего за ним события потока (одиночного события в силу ординарности потока) на интервале (t, t+dt). Эта вероятность в силу отсутствия последействия не будет зависеть от

13

предыстории потока, т.е. от того, какие значения принимал временной интервал между событиями в прошлом

dq(t) f (t)dt p(t) (t)dt .

Здесь f(t) – плотность вероятности появления события в момент t; p(t) – вероятность отсутствия события на интервале времени (0,t); λ(t) – условная плотность вероятности появления события в момент времени t при условии, что в предшествующий момент времени оно отсутствовало (интенсивность появления событий).

В результате преобразований, изложенных в разделе 1, и при условии стационарности потока (λ(t)=const) получаем экспоненциальный закон распределения вероятности для p(t) в виде (1.7).

Покажем теперь, что число событий пуассоновского потока, попадающих на любой из интервалов, распределено по закону Пуассона, а

где a – среднее число событий, приходящееся на интервал (0,t). При этом для

t0

рассматриваемый интервал.

Рассуждая по индукции, прежде всего, заметим, что, как следует из вышеизложенного, вероятность отсутствия событий на интервале (0,t) описывается экспоненциальной зависимостью (1.7). Аналогичный результат получается и из выражения (2.1) при m=0, с учетом, что 0!=1. Покажем теперь справедливость выражения (2.1) при m=1. Пусть единственное событие возникает на интервале времени ( , d ) ( 0 t ). Тогда

вероятность его появления определяется выражением dq( ) f ( )d p(t) d .

Для получения искомой вероятности необходимо проинтегрировать это выражение по всему интервалу (0,t)

времени (0, ) произошло ровно k событий, во-вторых, на интервале времени ( , d ) ( 0 t ) с вероятностью d произошло (k+1)-е событие потока и, в-третьих, на интервале ( , t) события отсутствовали. Все события,

14

составляющие рассматриваемое сложное событие, из-за отсутствия последействия независимы, поэтому получаем

подтверждаем справедливость выражения (2.1).

Теперь мы можем вернуться к рассмотрению «холодного» резервирования, упомянутого в разделе 1. При «холодном» резервировании питание на всех (n-1) резервных элементах выключено. Считается, что в таком состоянии интенсивность отказов резервных элементов практически равна нулю. В результате отказать может только единственный работающий элемент. Для простоты будем полагать, что восстановление отказавшего элемента (замена на резервный элемент) происходит мгновенно. Обозначая интенсивность отказов одного элемента через и учитывая, что таких отказов может быть не более (n-1), на основе выражения (2.1) получаем

2.2.Аппроксимация потока редких событий пуассоновским потоком

Отметим интересный факт – возможность пуассоновской аппроксимации потока, образованного относительно редкими событиями, или, как еще говорят, пуассоновской аппроксимации биноминального закона распределения вероятностей. Такой прием зачастую позволяет существенно упрощать анализ происходящих процессов. Поясним это, полагая для простоты, что на интервале (0,t) рассматриваемые события могут появляться лишь в n дискретных точках. Пусть вероятность появления события в любой из этих точек одна и та же и равна p. Вероятность непоявления события в точке обозначим q=1-p. Тогда вероятность появления на интервале (0,t) ровно k событий определяется известной биноминальной формулой [6]

Ясно, что использовать эту формулу во многих случаях, например при редких событиях, весьма затруднительно из-за необходимости вычисления

15

факториалов для больших чисел. Редкое событие характеризуется малым значением p. Этот факт выразим соотношением

где a – число появившихся на интервале (0,t) событий; n a.

Рассмотрим вероятность того, что во всех n точках рассматриваемого интервала времени событие не появится (P(0)). Вычислим ее на основе выражения (2.3)

Отсюда, логарифмируя и раскладывая в ряд, получаем

Поскольку n a , то в разложении логарифма в ряд можно ограничиться первым слагаемым. Тогда имеем

P(0) ~ exp( a) ,

...

Таким образом, приходим к выражению (2.1).

2.3.Марковские модели функционирования технической системы

При оценивании надежностных характеристик технической системы удобно представлять ее функционирование в виде случайного процесса (случайной функции времени), при котором система в случайные моменты времени осуществляет переходы между своими состояниями [6]. Эти процессы с достаточной степенью приближения можно считать марковскими. Заметим, что в простейшем случае система может иметь два

состояния: исправна и работает ( S 0 ), неисправна и восстанавливается ( S 1 ). Приведем определение марковского процесса.

16

Случайный процесс называется марковским (процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого значения процесса

в будущем ( t t0 ) зависит только от его значения в настоящем ( t t0 ) и не

зависит от его значений в прошлом.

Марковские случайные процессы подразделяются на процессы с

дискретными и непрерывными значениями. Если возможные значения процесса можно перечислить (перенумеровать), а сам процесс состоит в том, что время от времени он скачком переходит от одного значения к другому, то случайный процесс называется процессом с дискретными значениями. Для процессов с непрерывными значениями характерен постепенный переход от значения к значению. Примерами марковских процессов с дискретными значениями могут служить вышеупомянутые процессы функционирования системы, а марковских процессов с непрерывными значениями – случайные процессы, представляющие погрешности навигационной системы.

Среди марковских случайных процессов с дискретными значениями различают процессы с дискретным и непрерывным временем. Если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные заранее фиксированные моменты, то процесс называют процессом с дискретным временем. Если переходы системы из состояния в состояние возможны в любой заранее неизвестный случайный момент, то процесс называют процессом с непрерывным временем или непрерывной цепью Маркова. Последние и будут применяться в дальнейшем для описания функционирования системы.

2.4.Непрерывные цепи Маркова

Пусть система может находиться в одном из N+1 дискретных состояний

вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в

так как соответствующие события несовместны и образуют полную группу. Пусть для состояний системы предусмотрен переход из S i в S j и в

момент времени t система находится в состоянии S i . Рассмотрим промежуток времени (t, t t) , обозначив через Pi j ( t) вероятность того,

что система, находившаяся в момент времени t в состоянии S i , на интервалеt перейдет из него в состояние S j .

17

Назовем интенсивностью перехода i j предел отношения вероятности

система восстанавливается).

Дуги графа состояний отмечаются соответствующими интенсивностями перехода. Обычно предполагается, что не только время безотказной работы, но и время восстановления tв элементов системы случайно и распределено

по экспоненциальному закону. Так, в примере, представленном на рис. 2.1,

–это интенсивность отказов системы, а – интенсивность ее

восстановлений ( 1 , T в – среднее время восстановления).

Tв

В заключение настоящего подраздела приведем еще одну характеристику надежности, предназначенную для безызбыточных, но восстанавливаемых систем. Эту характеристику принято называть стационарным коэффициентом готовности и обозначать K г . Предполагается,

что в рассматриваемых системах используются средства для обнаружения отказов – средства диагностирования. Функционирование таких систем можно представить как последовательность чередующихся интервалов времени, на одном из которых система работает по прямому назначению, а на втором восстанавливается после обнаруженного отказа. При этом стационарный коэффициент готовности определяется как отношение:

Ясно, что эту характеристику можно трактовать как вероятность того, что в произвольный момент времени восстанавливаемая система будет находиться в работоспособном состоянии.

18

Часто задачу анализа надежности описывают так, будто на систему действуют простейшие потоки отказов и восстановлений. При этом не следует забывать, что в представлении процесса возникновения аппаратурных отказов в виде потока есть известная доля условности. Действительно, после того как происходит первый отказ (первое событие потока), все равно – продолжается этот поток или прекращается. Такое представление выглядит достаточно адекватным, лишь когда восстановление системы после отказа можно считать практически мгновенным.

2.5.Резервированные системы с восстановлением. Уравнения Колмогорова

Выше предполагалось, что отказавшие элементы системы восстановлению не подлежат. Рассмотрим теперь случай, когда производится восстановление отказавших элементов. В этом случае система при обнаружении сбоя переходит к восстановлению осуществляемого ею процесса измерения и обработки информации, а при возникновении отказа к этим действиям добавляется поиск места отказа и реконфигурация системы. Все эти операции требуют некоторого случайного времени tв

восстановления. Получим для этого случая выражение для вероятности p0 (t)

безотказной работы системы как функции времени. Эта вероятность удовлетворяет дифференциальным уравнениям Колмогорова.

Для пояснения методики составления уравнений предварительно рассмотрим простой пример безызбыточной системы, состоящей из одного восстанавливаемого элемента. При этом система может находиться в одном

из двух состояний: S 0 – система работает, S 1 – система восстанавливается, а ее поведение описывается графом состояний на рис. 2.1. Будем предполагать, что не только время безотказной работы, но и время восстановления элемента распределены по экспоненциальному закону. При этом интенсивность отказов элемента равна , а интенсивность его восстановлений .

находиться в состоянии S 0 . Будем предполагать, что интервал t настолько мал, что на нем может произойти лишь один переход. Тогда рассматриваемое событие в данном примере может произойти двумя способами:

2)в момент t система была в состоянии S 1 и за время t перешла

из него в S 0 .

Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности p0 (t) того, что в момент t система была в состоянии S 0 , на условную

19

вероятность того, что, будучи в состоянии S 0 , система за время t не

перейдет из него в состояние S 1 . Эта условная вероятность в соответствии с (2.5) приближенно равна 1 t . Аналогично вероятность второго варианта

равна вероятности p1 (t) того, что в момент t система была в состоянии S 1 ,

умноженной на условную вероятность перехода за время t в состояние S 0 : p1 (t) t .

Применяя правило сложения вероятностей, получаем

p0 (t t) p0 (t)(1 t) p1 (t) t .

Раскроем скобки в правой части, перенесем p0 (t) в левую и разделим обе части равенства на t

p0 (t t) p0 (t) p0 (t) p1 (t) .

t

Теперь устремим t к нулю и перейдем к пределу. Тогда левая часть есть не что иное, как производная функции p0 (t)

dp0 (t) p0 (t) p1 (t) . dt

Таким образом, имеем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция p0 (t) . Аналогично можно получить второе

уравнение

dp1 (t) p0 (t) p1 (t) . dt

Такие дифференциальные уравнения называются уравнениями Колмогорова [6]. В данном случае для описания системы достаточно одного уравнения, так как p0 (t) p1 (t) 1 . Подставляя p1 (t) 1 p0 (t) в первое из уравнений, получаем

готовности, т.е. вероятность того, что в произвольный момент t система будет работоспособна. При t в этом выражении сохраняется только

коэффициент готовности системы.

Теперь рассмотрим простейший случай резервированной системы, состоящей из двух одинаковых элементов – основного и резервного. Попрежнему интенсивность отказов элемента будем обозначать , а

20