UP_nadezhnost_i_diagnostika

Для количественной характеристики случайного события A используется вероятность P(A) его появления ( 0 P( A) 1), которая определяется как

отношение числа благоприятствующих событию A исходов к общему числу равновозможных несовместных исходов, составляющих полную группу событий. Среди детерминированных событий обычно выделяют

достоверные (P(A) = 1) и невозможные (P(A) = 0).

Сумма вероятностей событий A1 , A2 ,..., An , образующих полную группу,

n

равна единице: P( Ai ) 1.

i 1

Если полную группу составляют два события, то они называются

противоположными.

Произведением двух событий A и B называется событие AB, означающее совместное появление в результате испытания этих событий. Если при вычислении вероятности P(B) какого-либо события B не накладывается никаких дополнительных условий, связанных с появлением других случайных событий, то такая вероятность называется безусловной. Если вероятность события B вычисляется в предположении о наличии события A, то она называется условной вероятностью и обозначается P(B|A). Если наступление события A изменяет вероятность события B, то такие события называются зависимыми. Вероятность произведения двух зависимых событий определяется формулой

Суммой двух событий A и B называют событие C=A+B, которое состоит в появлении либо события A, либо события B, либо событий A и B одновременно. Если A и B несовместные, то их сумма – это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий. Выражение для вероятности P(A+B) суммы независимых совместных событий A и B можно получить через выражение для вероятности противоположного события

P( А В ) ( A – событие, противоположное событию A, т.е. P (A A) =1; B – событие, противоположное событию B)

P(A B) 1 P(AB) 1 (1 P(A))(1 P(B)) P(A) P(B) P(A)P(B) .

Отсюда вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий, для которых P(A)P(B)=0, равна сумме вероятностей этих событий:

P( A B) P( A) P(B) .

Одним из эффективных методов расчета вероятностей событий является формула полной вероятности. Эта формула позволяет определить вероятность события B , которое может наступить лишь при условии появления одного из событий 1 , 2 ,..., n образующих полную группу

несовместных событий. Тогда событие B можно представить в виде суммы попарно несовместных событий

B B 1 B 2 ... B n .

121

Отсюда вероятность для события B

где P(B | j ) условная вероятность появления события B при условии, что появилось событие j .

Случайные события характеризуют качественно результат эксперимента. На практике зачастую оказывается полезнее представлять результат эксперимента количественно в виде некоторой величины X, которая называется случайной величиной. Точное значение случайной величины предсказать невозможно, можно лишь определить вероятности ее возможных значений. Понятие случайной величины является в известном смысле обобщением понятия случайного события, так как с каждым случайным событием можно сопоставить случайную величину, принимающую значение «1», когда это событие имеет место, и «0» – в противоположном случае. Общее число событий, которые могут появиться в результате эксперимента, может быть равно произвольному положительному числу или даже оказаться бесконечным, но счетным. В этом случае с каждым событием можно сопоставить некоторое действительное число, а полной группе событий будет соответствовать дискретная случайная величина. Вероятность того, что эта случайная величина примет одно из возможных значений, будет равна вероятности возникновения соответствующего случайного события. Таким образом, все результаты, сформулированные в терминах случайных событий, могут быть сформулированы в терминах случайных величин. Однако понятие случайной величины является более общим, чем понятие случайного события, поскольку множество значений случайной величины может быть непрерывным (континуальным). В этом случае говорят о непрерывной случайной величине. Такая ситуация всегда имеет место при измерении физических величин.

Для описания статистических свойств случайной величины необходимо знать, во-первых, интервал возможных значений случайной величины и, вовторых, вероятности этих значений. Закон, по которому значениям случайной величины или областям этих значений ставятся в соответствие вероятности того, что случайная величина примет эти значения или ее значение будет принадлежать этим областям, называется законом распределения вероятностей случайной величины. Аналитическим выражением законов распределения являются функции распределения, которые могут быть функциями целочисленного или непрерывного аргументов. Обычно используется интегральная функция распределения

(далее просто функция распределения) F (x) как вероятность того, что случайная величина X не превзойдет некоторого значения x: F (x) P( X x) .

Ясно, что F (x) является неубывающей функцией.

Если функция распределения случайной величины непрерывна и дифференцируема (за исключением, быть может, дискретных точек), то для

122

Поскольку все значения случайной величины образуют полную группу, выполняется равенство: f (x)dx 1 (здесь и далее обозначение бесконечных

пределов интегрирования опускается).

Для дискретной случайной величины x функция распределения не дифференцируема в обычном смысле. Можно, однако, распространить понятие плотности вероятности и на этот случай, используя дельта-функцию. Обозначим pi P(x xi ) , где xi одно из возможных значений дискретной

случайной величины X. Тогда функция распределения имеет вид

F(x) pi u(x xi ) ,

Как правило, при описании случайной величины будем использовать первые два момента плотности f (x) :

математическое ожидание mx M[x] xf (x)dx ,

дисперсию x2 D(x) M[(x mx )2 ] (x mx )2 f (x)dx .

Здесь символ M[ ] означает операцию нахождения математического ожидания.

Приложение 2. Модели представления знаний.

Классификация моделей представления знаний

В базе знаний (БЗ) любой экспертной системы (ЭС) хранятся экспертные знания о предметной области и об алгоритмах решения целевых для данной ЭС задач. При построении модели создается полуформализованное описание проблемной области, которое иногда называют полем знаний. Обычно оно создается в графическом виде и имеет две составляющие – объектную и функциональную модели. Объектная модель служит для описания объектов проблемной области, функциональная – отношений между ними.

Описание знаний должно быть, во-первых, формализовано, а во-вторых, должно допускать их легкую (без привлечения профессиональных

123

программистов) модификацию. Данную проблему принято называть проблемой модели представления знаний. Решение этой проблемы необходимо для обеспечения возможности автоматического анализа в рассматриваемой предметной области при решении поставленных задач. Выбор модели, используемой при решении конкретной задачи, зависит от специфики этой задачи. Существуют пять основных классов моделей: логические модели, продукционные правила, семантические сети, фреймы и объектно-ориентированная модель. Последняя близка по своим свойствам к фреймам.

Рассмотрим классификацию моделей представления знаний на основе следующих признаков классификации:

Степень структурированности модели.

Степень формализованности модели.

Степень динамичности модели. Приведем краткие характеристики изучаемых моделей.

1.Логическая модель реализует и объекты, и правила с помощью предикатов первого порядка, является строго формализованной моделью

суниверсальным дедуктивным и монотонным методом логического вывода "от цели к данным".

2.Продукционная модель позволяет осуществлять эвристические

уверенности, а также выполнять монотонный или немонотонный выводы.

3.Семантическая сеть отображает разнообразные отношения объектов.

4.Фреймовая модель, как развитие семантической сети, использует для реализации операционного знания присоединенные процедуры.

5.Объектно-ориентированная модель, как развитие фреймовой модели, реализуя обмен сообщениями между объектами, в большей степени ориентирована на решение динамических задач и отражение поведенческой модели.

Эти соображения будут пояснены при последующем изложении.

Модели представления знаний

по степени структурированности

124

Рис. П 2.1. Классификация моделей представления знаний.

Логическая модель

Приближенно логическую модель можно охарактеризовать как описание знаний с помощью логических формул. Она основывается на логических исчислениях. Среди логических исчислений выделяют исчисление высказываний и исчисление предикатов, которые являются разделами математической логики.

Высказыванием называется предложение, относительно которого можно сказать – истинно оно или ложно.

Примеры. Математические высказывания: 2 = 2 – истинно, 2 = 3 – ложно.

Нематематическое высказывание: «Эрмитаж находится в СанктПетербурге» – истинно.

Из простых высказываний с помощью логических операций можно составлять сложные высказывания. В исчислении высказываний используются пять логических операций или связок:

Правила составления и преобразования высказываний называются исчислением высказываний.

Логические операции могут быть описаны с помощью так называемых таблиц истинности:

высказывания, то приведенная запись прочитывается так: из высказывания x1

125

следует высказывание x2. Действительно, данная функция ложна только тогда, когда нарушается причинно-следственная связь между x1 и x2 (истинность x1 не сопровождается истинностью x2). Операция импликации некоммутативна (x1 и x2 нельзя менять местами). Ее первый операнд называется посылкой (условием), а второй – заключением.

Пример. Обозначим через x1 высказывание «Идет дождь», а через x2 высказывание «Дорога мокрая». Тогда можно записать: x1 x2. Обратное несправедливо, т.к. дорога может быть мокрой после полива.

Используя операцию импликации можно организовывать логический вывод, т.е. на основании истинности одного высказывания убеждаться в истинности другого. Однако это возможно лишь в случае, когда условие и заключение импликации представлены формулами от одних и тех же переменных, например, (x1 x2) (x1 x2) . Импликация же x1 x2 не

может быть получена формально, а лишь на основе смыслового анализа содержания задачи. В результате исчисление высказываний на практике не применяют для формализации рассуждений, поскольку оно позволяет формализовать лишь малую часть рассуждений. Действительно, рассмотрим следующее рассуждение.

«Все люди смертны». «Сократ – человек». «Сократ – смертен».

Это рассуждение правильное, но оно выходит за рамки исчисления высказываний. Действительно, если приведенные высказывания обозначить соответственно через p, q и r, то получим формулу: (p & q) r. Очевидно, что истинность этого высказывания невозможно доказать формально, т.к. r не выражено через p и q. Для доказательства необходимо анализировать структуру высказывания, что невозможно, поскольку высказывание неделимо.

В связи с этим для моделирования рассуждений на практике используется исчисление предикатов, а точнее, исчисление предикатов первого порядка.

Предикат также отличается от высказывания, как формула отличается от численного выражения. Формула при подстановке в нее значений исходных данных превращается в численное выражение, которое может быть вычислено. Предикат при подстановке в него значений неизвестных превращается в высказывание. До этого невозможно сказать, истинен предикат или ложен.

Предикат - это переменное высказывание, истинность или ложность которого зависит от выбора значений неизвестных.

Другое определение.

Предикатом называется функция, аргументы которой принимают значения из некоторого множества, а сама функция – значения 0 или 1 (ложь или истина).

126

В математической логике предикат обычно записывается с помощью обозначающего символа и аргументов, приводимых в скобках, например, P(x, y).

Пример. Математический предикат: x > y (предикат неравенства). Нематематический предикат: Столица (x). Этот предикат истинен, если x

функциональная модели описываются унифицированным образом с помощью предикатов первого порядка. Отличие этих описаний заключается в том, что объекты описываются отдельными соответствующими предикатами, а отношения (функциональная модель) описываются импликацией, т.е. логической формулой вывода одних фактов их других. Эти импликации называют правилами. При этом и данные (факты) и знания размещаются вместе в БЗ. Истинность предиката можно установить либо в результате отождествления его с фактом, либо в результате срабатывания правила, где он является заключением.

Достоинством логической модели является строгость формального аппарата получения решения, а именно, общей процедуры логического вывода. Однако ей свойственен и недостаток, заключающийся в ее неструктурированности. В результате для сбора информации по одному объекту приходится просматривать всю БЗ, что может приводить к большому перебору или, как говорят, к комбинаторному взрыву. По этой причине поставленные задачи могут решаться недопустимо большое время. Кроме того, работа с неопределенностями знаний должна быть запрограммирована в виде самостоятельных метаправил, что на практике затрудняет разработку баз знаний. К недостаткам логической модели следует отнести также ее монотонность – свойство, проявляющееся при работе с неполными знаниями. Напомним, что принятие решения в условиях отсутствия части информации достаточно типично для экспертных задач. Поясним это свойство монотонности.

Пусть A, B и C суть некоторые высказывания. Тогда в монотонной модели если B выводится из A, то B будет выводиться и из A C. В немонотонной модели из A C может выводиться B, т.е. при появлении дополнительной информации в виде C мы приходим к противоположному выводу. Таким образом, при использовании немонотонной модели существует возможность отказа от ранее сделанных выводов в целях разрешения противоречия и получения окончательного адекватного решения.

Продукционная модель

Продукционная модель используется для решения более сложных задач, которые основаны на применении эвристических методов представления знаний, позволяющих настраивать механизм вывода на особенности проблемной области и учитывая неопределенность знаний.

В продукционной модели основной единицей знаний служит правило в виде:

127

правило; А - предусловие выбора класса правил; В - предусловие выбора правила в классе; Е - постусловие правила, определяющее переход на следующее правило.

В предусловиях и постусловиях могут быть заданы дополнительные процедуры, например, по вводу и контролю данных, математической обработке и т. д. Введение предусловий и постусловий позволяет выбирать наиболее рациональную стратегию работы механизма вывода, существенно сокращая перебор относящихся к решению правил.

Сами правила могут иметь как простой, так и обобщенный характер. Простые правила описывают продукции над единичными объектами, обобщенные правила определяются на классах объектов.

Семантическая сеть

Семантическая сеть - это ориентированный граф, вершины которого понятия, а дуги –отношения между ними.

Считается, что семантическая сеть соответствует современному представлению об организации долговременной памяти человека.

Термин «семантическая» означает «смысловая». Понятия обычно обозначают абстрактные или конкретные объекты, а отношения – это связи ограниченного количества типов (типизированные отношения). Среди них следующие: «это», «имеет частью», «принадлежит», «любит», «имеет свойство», «имеет значение» и т.п.

Пример. На рис. П2.2 приведена семантическая сеть со знаниями об автомобиле Иванова. Важной особенностью семантических сетей является наследование объектами свойств через связи типа «это». В рассматриваемом примере имеем. «Автомобиль» «имеет частью» «Двигатель», но «Волга» «это» «Автомобиль». Значит, «Волга» «имеет частью» «Двигатель».

Проблема поиска решения в БЗ типа семантической сети сводится к поиску подсети, соответствующей поставленному вопросу. Достоинство семантической сети заключается в способности эффективно описывать объектные модели предметной области. Недостаток – в отсутствии для общего случая процедуры логического вывода.

Фреймы

Развитием семантических сетей является фреймовое представление знаний, в которых все атрибуты (поименованные отношения) объекта собираются в одну структуру данных, называемую фреймом.

Фрейм – это структурированное представление знаний по принципу «объект -свойства». Свойства в теории фреймов называются слотами. Причем в качестве значений слотов могут выступать как обычные значения данных, так и действия, направленные на получение этих значений. Это свойство фреймов называется инкапсуляцией. Действия реализуются в виде присоединенных процедур, вызываемых по определенным условиям. По этой

129

причине фреймовая модель более операционно-ориентирована, нежели семантическая сеть. Структуру фрейма можно представить так:

Имя фрейма (объект, ситуация) Имя 1-го слота: значение 1-го слота. Имя 2-го слота: значение 2-го слота.

…

Имя N-го слота: значение N-го слота.

В качестве значения слота может выступать имя другого слота. Так образуются сети фреймов. Как и в семантических сетях во фреймах наследуются свойства по связям типа «это».

Понятие «Ученик» наследует свойства понятий «Ребенок» и «Человек». В результате на вопрос «Любит ли «Ученик» сладкое?» последует ответ: «Да», т.к. этим свойством обладают все дети. Наследование свойств может быть частичным. Так фреймом «Ученик» значение слота «Возраст» не наследуется, поскольку указан явно в своем фрейме.

Объектно-ориентированная модель

Объектно-ориентированная модель во многих отношениях аналогична фреймовой модели. Ей также присущи свойства инкапсуляции и наследования. Отличие заключается в том, что, во-первых, к этим свойствам добавляется третье – полиморфизм, состоящее в возможности наполнения новым содержанием процедуры, доставшейся по наследству. Во-вторых, вводятся и четко определяются два понятия - «класс» и «объект». В третьих, допускается возможность запуска одними объектами присоединенных процедур других объектов путем «посылки сообщений».

Объектно-ориентированная модель представляет собой иерархию классов и объектов предметной области, а ее функционирование описывается как взаимодействие объектов. Каждый объект является представителем некоторого класса однотипных объектов. Класс определяет общие свойства для всех его объектов. К таким свойствам относятся состав и структура данных, описывающих атрибуты класса и соответствующих объектов, а также совокупность методов-процедур, определяющих взаимодействие объектов этого класса между собой и с внешней средой.

Пример. Объектно-ориентированная модель для задачи учета заказов “Заказ”. Модель включает четыре объекта: «Заказ», «Продукт», «Получатель», «Производитель».

130