5. Резервированные системы с восстановлением. Уравнения Колмогорова

Выше предполагалось, что отказавшие элементы системы восстановлению не подлежат. Рассмотрим теперь случай, когда производится восстановление отказавших элементов. В этом случае система при обнаружении сбоя переходит к восстановлению осуществляемого ею процесса измерения и обработки информации, а при возникновении отказа к этим действиям добавляется поиск места отказа и реконфигурация системы. Все эти операции требуют некоторого случайного времени восстановления. Получим для этого случая выражение для вероятностибезотказной работы системы как функции времени. Эта вероятность удовлетворяет дифференциальным уравнениям Колмогорова.

Для пояснения методики составления уравнений предварительно рассмотрим простой пример безызбыточной системы, состоящей из одного восстанавливаемого элемента. При этом система может находиться в одном из двух состояний: – система работает,– система восстанавливается, а ее поведение описывается графом состояний на рис. 2.1. Будем предполагать, что не только время безотказной работы, но и время восстановления элемента распределены по экспоненциальному закону. При этом интенсивность отказов элемента равна, а интенсивность его восстановлений.

Получим уравнение для вероятности того, что в моментt система будет находиться в состоянии . Придадимt малое приращение и найдем вероятностьтого, что в моментсистема будет находиться в состоянии. Будем предполагать, что интервалнастолько мал, что на нем может произойти лишь один переход. Тогда рассматриваемое событие в данном примере может произойти двумя способами:

1. в момент t система была в состоянии и зане вышла из него;

2. в момент t система была в состоянии и за времяперешла из него в.

Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности того, что в моментt система была в состоянии , на условную вероятность того, что, будучи в состоянии, система за времяне перейдет из него в состояние. Эта условная вероятность в соответствии с (2.5) приближенно равна. Аналогично вероятность второго варианта равна вероятноститого, что в моментt система была в состоянии , умноженной на условную вероятность перехода за времяв состояние:.

Применяя правило сложения вероятностей, получаем

.

Раскроем скобки в правой части, перенесем в левую и разделим обе части равенства на

.

Теперь устремим к нулю и перейдем к пределу. Тогда левая часть есть не что иное, как производная функции

.

Таким образом, имеем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция . Аналогично можно получить второе уравнение

.

Такие дифференциальные уравнения называются уравнениями Колмогорова [6]. В данном случае для описания системы достаточно одного уравнения, так как. Подставляяв первое из уравнений, получаем

.

Если решить это уравнение при начальных условиях , то будем иметь

.

Выражение для определяетнестационарный коэффициент готовности, т.е. вероятность того, что в произвольный момент t система будет работоспособна. При в этом выражении сохраняется только постоянное слагаемое, которое определяетстационарный коэффициент готовности системы.

Теперь рассмотрим простейший случай резервированной системы, состоящей из двух одинаковых элементов – основного и резервного. По-прежнему интенсивность отказов элемента будем обозначать , а интенсивность его восстановлений –. Очевидно, что система может находиться в одном из трех состояний:

–система работает;

–в системе работает один элемент, второй элемент отказал

и восстанавливается;

–в системе отказали оба элемента, которые восстанавливаются.

Рассматриваемому случаю с очевидностью соответствует граф состояний системы на рис. 2.2.

Действуя в соответствии с методикой, использованной в предыдущем примере, получаем уравнения для вероятностей ,исостояний,исоответственно:

;

; (2.7)

.

Подставляя во второе уравнение, получаем

. (2.8)

Выразив из первого уравнения системы (2.7) и вычислив на основе полученного выражения, подставимив уравнение (2.8). В результате получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Характеристический многочлен соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Отсюда по известной формуле могут быть получены два вещественных корня и, и решение однородного уравнения может быть записано как

.

Из этого решения методом вариации постоянных может быть получено частное решение неоднородного уравнения, а затем и общее

.

Подставляя полученное выражение для и вычисляемую по нему производнуюв первое уравнение системы (2.7), получаем выражение для

.

Произвольные постоянные могут быть определены из начальных условий и:

;

.

Выражение для определяется как разность единицы и суммы выражений дляи. Сумма выражений дляиопределяет нестационарный коэффициент готовности, а входящие в них постоянные слагаемые – стационарный коэффициент готовности системы.

Все приведенные выражения для оценки надежности резервированных систем являются приближенными, поскольку в них не учтено влияние качества СД. При их получении неявно предполагалось, что СД идеальны и не ошибаются при оценке исправности элемента, однако на практике они могут как пропустить отказ, так и сформировать ложный сигнал об отказе.

Выше рассматривались случаи, когда избыточная система состоит из одинаковых элементов, что является частным случаем. Примером системы, для которой это условие не выполняется, может служить любая современная НС, в состав которой входит несколько различных измерителей. Эти измерители различаются по принципу действия, однако среди вырабатываемых ими параметров есть и общие, что позволяет повышать как надежность НС, так и ее точность. При этом формирование выходной информации НС происходит посредством достаточно сложного алгоритма комплексной обработки.