Аппроксимация потока редких событий пуассоновским потоком
Отметим интересный факт – возможность пуассоновской аппроксимации потока, образованного относительно редкими событиями, или, как еще говорят, пуассоновской аппроксимации биноминального закона распределения вероятностей. Такой прием зачастую позволяет существенно упрощать анализ происходящих процессов. Поясним это, полагая для простоты, что на интервале (0,t) рассматриваемые события могут появляться лишь в n дискретных точках. Пусть вероятность появления события в любой из этих точек одна и та же и равна p. Вероятность непоявления события в точке обозначим q=1-p. Тогда вероятность появления на интервале (0,t) ровно k событий определяется известной биноминальной формулой [6]
, (2.3)
где
.
Ясно, что использовать эту формулу во многих случаях, например при редких событиях, весьма затруднительно из-за необходимости вычисления факториалов для больших чисел. Редкое событие характеризуется малым значением p. Этот факт выразим соотношением
,
(2.4)
где
– число появившихся на интервале (0,t)
событий;
.
Рассмотрим вероятность того, что во всех n точках рассматриваемого интервала времени событие не появится (P(0)). Вычислим ее на основе выражения (2.3)
.
Отсюда, логарифмируя и раскладывая в ряд, получаем
Поскольку
,
то в разложении логарифма в ряд можно
ограничиться первым слагаемым. Тогда
имеем
,
где
«~» обозначает предельный переход при
.
Снова обратимся к выражению (2.3) и вычислим отношение вероятностей для k и k-1 с учетом (2.4)
.
В результате имеем рекуррентное соотношение
,
из которого получаем:
Таким образом, приходим к выражению (2.1).
Марковские модели функционирования технической системы
При
оценивании надежностных характеристик
технической системы удобно представлять
ее функционирование в виде случайного
процесса (случайной функции времени),
при котором система в случайные моменты
времени осуществляет переходы между
своими состояниями [6]. Эти процессы с
достаточной степенью приближения можно
считать марковскими. Заметим, что в
простейшем случае система может иметь
два состояния: исправна и работает (
),
неисправна и восстанавливается (
).
Приведем определение марковского
процесса.
Случайный
процесс называется марковским
(процессом без последействия), если он
обладает следующим свойством: для
каждого момента времени
вероятность любого значения процесса
в будущем (
)
зависит только от его значения в настоящем
(
)
и не зависит от его значений в прошлом.
Марковские случайные процессы подразделяются на процессы с дискретными и непрерывными значениями. Если возможные значения процесса можно перечислить (перенумеровать), а сам процесс состоит в том, что время от времени он скачком переходит от одного значения к другому, то случайный процесс называется процессом с дискретными значениями. Для процессов с непрерывными значениями характерен постепенный переход от значения к значению. Примерами марковских процессов с дискретными значениями могут служить вышеупомянутые процессы функционирования системы, а марковских процессов с непрерывными значениями – случайные процессы, представляющие погрешности навигационной системы.
Среди марковских случайных процессов с дискретными значениями различают процессы с дискретным и непрерывным временем. Если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные заранее фиксированные моменты, то процесс называют процессом с дискретным временем. Если переходы системы из состояния в состояние возможны в любой заранее неизвестный случайный момент, то процесс называют процессом с непрерывным временем или непрерывной цепью Маркова. Последние и будут применяться в дальнейшем для описания функционирования системы.