3. Резервированные системы с параллельным включением резервных элементов

Недостаток мажоритарной системы, состоящий в неполном использовании аппаратурных ресурсов, преодолевается при применении резервирования («горячего» или «холодного») с параллельным включением резервных элементов. Эти системы так же, как и предыдущие, относятся к классу резервированных систем без восстановления. При «горячем» резервировании (рис. 1.3), как и в случае с мажоритарными системами, обычно нет четкого разделения на основные и резервные элементы, поскольку питание включено на всех элементах, и во всех элементах одновременно реализуется процесс обработки информации.

При использовании резервирования формирование выходной информации осуществляется не на основе схем голосования, а с опорой на встроенные в каждый элементсредства диагностирования (СД). Последние представляют собой аппаратурные или программные средства, позволяющие обнаруживать и диагностировать (указывать место) возникающие сбои и отказы. СД каждого элемента при обнаружении отказа или сбоя вырабатывают сигнал ошибки, на основании которого специальный решающий орган (РО) запрещает участие данного элемента в формировании выходной информации системы.

Выражение для оценки надежности системы по надежностиее элементов в случае «горячего» резервирования и при условии независимости отказов элементов (когда отказ одного элемента не приводит к отказу другого) имеет вид

. (1.9)

Заметим, что как мажоритарная система, так и система с «горячим» резервированием в процессе эксплуатации даже при постоянстве по мере отказов элементов постепенно деградируют, снижая свою надежность. При этом суммарная интенсивность отказов элементов системы также постепенно снижается – сначала она равна, затеми т.д.

Случай «холодного» резервирования будет рассмотрен в разделе 2.

Пример. Пусть система, содержащая один элемент, имеет надежность на заданном интервале времени t: . Тогда при «горячем» трехкратном резервировании ее надежность в соответствии с (1.9) равна:

.

Вопросы

1. Понятия отказа, работоспособного состояния и надежности технической системы.

2. Понятие аппаратурного отказа навигационной системы.

3. Понятие информационного отказа и информационного нарушения навигационной системы.

4. Понятия аппаратурной надежности навигационной системы.

5. Понятия информационной надежности навигационной системы.

6. Интенсивность возникновения отказов.

7. Экспоненциальный закон надежности.

8. Основные характеристики надежности невосстанавливаемых систем.

9. Основные характеристики надежности восстанавливаемых систем.

10. Определение надежности простой системы по надежности ее элементов.

2. Простейший поток событий и марковские модели функционирования технической системы

   1. Потоки событий. Простейший поток и его свойства

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то обычно случайные моменты времени.

Примерами потоков могут служить: поток двигающихся по некоторому маршруту судов, поток отказов системы, поток выбросов случайного процесса за заданный уровень и т.д. На практике чаще всего встречаются потоки событий, для которых моменты наступления событий и, как следствие, промежутки времени между ними случайны. В качестве математической модели реальных потоков, как правило, используется так называемый простейший (стационарный пуассоновский) поток. Этот поток обладает тремя свойствами: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Определим эти свойства.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на интервал времени (0,t) зависит только от длины интервала и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот интервал.

Здесь и далее будем полагать, что точка начала координат (t=0) произвольно может быть размещена на оси времени, отмечая, например, момент начала работы рассматриваемой системы.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на любой другой интервал.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на достаточно малый интервал двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль, поскольку можно доказать [6], что при суперпозиции достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны, ординарны и сравнимы по интенсивности), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем больше потоков суммируется.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени, тогда как для простейшего потока.

Простейший поток дополнительно называется пуассоновским, поскольку время между событиями в этом потоке распределено по экспоненциальному закону и, как следствие, число событий, попадающих на любой из временных интервалов, распределено по закону Пуассона. Первый факт является следствием трех базовых свойств простейшего потока. Его справедливость следует из соотношений, которые были рассмотрены в предыдущем разделе при обсуждении экспоненциального закона надежности технической системы и основаны на выражении (1.3) для интенсивности возникновения отказов. Проанализируем эти соотношения еще раз уже в новом контексте с учетом свойств простейшего потока.

Пусть некоторое событие потока возникло в момент времени t=0. Запишем вероятность dq(t) появления следующего за ним события потока (одиночного события в силу ординарности потока) на интервале (t, t+dt). Эта вероятность в силу отсутствия последействия не будет зависеть от предыстории потока, т.е. от того, какие значения принимал временной интервал между событиями в прошлом

.

Здесь f(t) – плотность вероятности появления события в момент t; p(t) – вероятность отсутствия события на интервале времени (0,t); λ(t) – условная плотность вероятности появления события в момент времени при условии, что в предшествующий момент времени оно отсутствовало (интенсивность появления событий).

В результате преобразований, изложенных в разделе 1, и при условии стационарности потока (λ(t)=const) получаем экспоненциальный закон распределения вероятности для p(t) в виде (1.7).

Покажем теперь, что число событий пуассоновского потока, попадающих на любой из интервалов, распределено по закону Пуассона, а именно вероятность попадания на интервал (0,t) ровно m событий выражается формулой

, (2.1)

где a – среднее число событий, приходящееся на интервал (0,t). При этом для стационарного пуассоновского потока , для нестационарногои зависит от того, в какой точкеначинается рассматриваемый интервал.

Рассуждая по индукции, прежде всего, заметим, что, как следует из вышеизложенного, вероятность отсутствия событий на интервале (0,t) описывается экспоненциальной зависимостью (1.7). Аналогичный результат получается и из выражения (2.1) при m=0, с учетом, что 0!=1. Покажем теперь справедливость выражения (2.1) при m=1. Пусть единственное событие возникает на интервале времени (). Тогда вероятность его появления определяется выражением

.

Для получения искомой вероятности необходимо проинтегрировать это выражение по всему интервалу (0,t)

.

Очевидно, что последний результат удовлетворяет соотношению (2.1).

Определим теперь выражение для вероятности P(k+1) при условии, что вероятность P(k) определяется выражением (2.1). Запишем вероятность сложного события, состоящего в том, что, во-первых, на интервале временипроизошло ровноk событий, во-вторых, на интервале времени () с вероятностьюпроизошло (k+1)-е событие потока и, в-третьих, на интервале события отсутствовали. Все события, составляющие рассматриваемое сложное событие, из-за отсутствия последействия независимы, поэтому получаем

.

Определив искомую вероятность P(k+1) путем интегрирования предыдущего выражения на интервале (0, t)

,

подтверждаем справедливость выражения (2.1).

Теперь мы можем вернуться к рассмотрению «холодного» резервирования, упомянутого в разделе 1. При «холодном» резервировании питание на всех (n-1) резервных элементах выключено. Считается, что в таком состоянии интенсивность отказов резервных элементов практически равна нулю. В результате отказать может только единственный работающий элемент. Для простоты будем полагать, что восстановление отказавшего элемента (замена на резервный элемент) происходит мгновенно. Обозначая интенсивность отказов одного элемента через и учитывая, что таких отказов может быть не более (n-1), на основе выражения (2.1) получаем

. (2.2)

Пример. Продолжая пример из раздела 1, при «холодном» резервировании с учетом, что , получаем