Вопросы

1. Методы функционального диагностирования для обнаружения отказов.

2. Функциональное диагностирование произвольных отказов.

3. Функциональное диагностирование в пространстве сигналов.

4. Функциональное диагностирование в пространстве параметров.

5. Функциональное диагностирование информационных отказов в интегрированной навигационной системе.

Приложение 1. Основные понятия теории вероятностей

В научных исследованиях и практических разработках часто оказывается затруднительным или невозможным точно предсказать результаты некоторых многократно повторяемых экспериментов или испытаний. В этих случаях приходится использовать для описания наблюдаемых явлений вероятностные модели, в основе которых лежат понятия случайного события и случайной величины. Отказ от точного детерминированного описания объясняется сложностью наблюдаемого явления, незнанием всех причин его возникновения, невозможностью задать необходимое число исходных данных.

В теории вероятностей событие определяется как результат некоторого эксперимента или испытания. События подразделяются на детерминированные, когда условия эксперимента полностью определяют его результат, и случайные, когда это требование не выполняется. Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.

Для количественной характеристики случайного события A используется вероятность P(A) его появления (), которая определяется как отношение числа благоприятствующих событиюA исходов к общему числу равновозможных несовместных исходов, составляющих полную группу событий. Среди детерминированных событий обычно выделяют достоверные (P(A) = 1) и невозможные (P(A) = 0).

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:.

Если полную группу составляют два события, то они называются противоположными.

Произведением двух событий A и B называется событие AB, означающее совместное появление в результате испытания этих событий. Если при вычислении вероятности P(B) какого-либо события B не накладывается никаких дополнительных условий, связанных с появлением других случайных событий, то такая вероятность называется безусловной. Если вероятность события B вычисляется в предположении о наличии события A, то она называется условной вероятностью и обозначается P(B|A). Если наступление события A изменяет вероятность события B, то такие события называются зависимыми. Вероятность произведения двух зависимых событий определяется формулой

. (П.1.1)

Суммой двух событий A и B называют событие C=A+B, которое состоит в появлении либо события A, либо события B, либо событий A и B одновременно. Если A и B несовместные, то их сумма – это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий. Выражение для вероятности P(A+B) суммы независимых совместных событий A и B можно получить через выражение для вероятности противоположного события P() (– событие, противоположное событиюA, т.е. P=1;– событие, противоположное событиюB)

.

Отсюда вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий, для которых P(A)P(B)=0, равна сумме вероятностей этих событий: .

Одним из эффективных методов расчета вероятностей событий является формула полной вероятности. Эта формула позволяет определить вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из событийобразующих полную группу несовместных событий. Тогда событиеможно представить в виде суммы попарно несовместных событий

.

Отсюда вероятность для события

,

где  условная вероятность появления события при условии, что появилось событие.

Случайные события характеризуют качественно результат эксперимента. На практике зачастую оказывается полезнее представлять результат эксперимента количественно в виде некоторой величины X, которая называется случайной величиной. Точное значение случайной величины предсказать невозможно, можно лишь определить вероятности ее возможных значений. Понятие случайной величины является в известном смысле обобщением понятия случайного события, так как с каждым случайным событием можно сопоставить случайную величину, принимающую значение «1», когда это событие имеет место, и «0» – в противоположном случае. Общее число событий, которые могут появиться в результате эксперимента, может быть равно произвольному положительному числу или даже оказаться бесконечным, но счетным. В этом случае с каждым событием можно сопоставить некоторое действительное число, а полной группе событий будет соответствовать дискретная случайная величина. Вероятность того, что эта случайная величина примет одно из возможных значений, будет равна вероятности возникновения соответствующего случайного события. Таким образом, все результаты, сформулированные в терминах случайных событий, могут быть сформулированы в терминах случайных величин. Однако понятие случайной величины является более общим, чем понятие случайного события, поскольку множество значений случайной величины может быть непрерывным (континуальным). В этом случае говорят о непрерывной случайной величине. Такая ситуация всегда имеет место при измерении физических величин.

Для описания статистических свойств случайной величины необходимо знать, во-первых, интервал возможных значений случайной величины и, во-вторых, вероятности этих значений. Закон, по которому значениям случайной величины или областям этих значений ставятся в соответствие вероятности того, что случайная величина примет эти значения или ее значение будет принадлежать этим областям, называется законом распределения вероятностей случайной величины. Аналитическим выражением законов распределения являются функции распределения, которые могут быть функциями целочисленного или непрерывного аргументов. Обычно используется интегральная функция распределения (далее просто функция распределения) как вероятность того, что случайная величинаX не превзойдет некоторого значения x: .

Ясно, что является неубывающей функцией.

Если функция распределения случайной величины непрерывна и дифференцируема (за исключением, быть может, дискретных точек), то для случайной величины может быть определена плотность вероятности , физический смысл которой определяется выражением

.

Поскольку все значения случайной величины образуют полную группу, выполняется равенство:(здесь и далее обозначение бесконечных пределов интегрирования опускается).

Для дискретной случайной величины xфункция распределения не дифференцируема в обычном смысле. Можно, однако, распространить понятие плотности вероятности и на этот случай, используя дельта-функцию. Обозначим, гдеодно из возможных значений дискретной случайной величиныX. Тогда функция распределения имеет вид

,

где – единичная функция,.

Вводя дельта-функцию ,, находим плотность вероятности дискретной случайной величины

.

Как правило, при описании случайной величины будем использовать первые два момента плотности :

математическое ожидание ,

дисперсию .

Здесь символ M[ ] означает операцию нахождения математического ожидания.