1. Экспоненциальный закон надежности

Можно выразить надежность элементачерез интенсивностьего отказов. Действительно, используя соотношение (1.3), и с учетом правил дифференцирования натурального логарифма получаем

откуда

.

В частном случае, когда и с учетом начального условияp(0)=0 получаем экспоненциальный закон надежности

(1.7)

Для этого закона функция распределения времени безотказной работы имеет вид

а плотность распределения и среднее время безотказной работы будут:

; (1.8)

.

Во многих практических случаях предположение о постоянстве интенсивности отказов выполняется. В связи с этим экспоненциальный закон надежности получил на практике широкое распространение. Физическое обоснование этому факту обычно видят в следующем. Все время существования технической системы разбивают на три этапа (рис. 1.1).

На начальном этапе (этапе разработки) (0,t₁) система подвергается испытаниям, во время которых отказывают и заменяются новыми все ненадежные элементы, т.е. система характеризуется повышенной интенсивностью отказов. На втором этапе (t₁, t₂) система эксплуатируется при постоянной интенсивности отказов, на третьем этапе t > t₂ интенсивность отказов увеличивается из-за процессов старения элементов. Заметим, что в теории надежности технических систем используется не только экспоненциальный закон. Так, описание процессов старения осуществляется на основе гауссовского (нормального) распределения времени наработки на отказ.

Рассмотрим задачу определения надежности системы по характеристикам надежности ее элементов. Пусть система s состоит из n элементов: . Допустим, что характеристики надежности элементов известны. Необходимо определить надежность системы. Она будет зависеть не только от надежности элементов, но и от того, насколько работа каждого элемента необходима для работы системы в целом. Предположим, что отказ любого элемента приводит к отказу системы. Такие системы называютсяпростыми или нерезервированными. Выразим ВБР простой системыs на интервале (0, t) через ВБР ее элементов на этом же интервале

.

Обозначив через – интенсивность отказов системы, а черезинтенсивность отказовi–го элемента (), получим

.

Отсюда следует равенство

,

которое показывает, что надежность системы возрастает с уменьшением числа составляющих ее элементов и повышением их надежности.

В случае, когда надежность системы оказывается недостаточной, для ее повышения прибегают к использованию, например, структурной избыточности или структурного резервирования, при котором предусматривается использование избыточных структурных элементов [6].

2. Системы, резервированные по методу голосования

Исторически первыми появились системы, резервированные по методу голосования, или мажоритарные системы (системы с мажоритарной структурой). Такие системы содержат n одинаковых элементов (e₁…e_n), объединенных схемой голосования «k из n» (k/n) (k<n) (рис. 1.2). Последняя представляет собой безынерционную схему выявления отказавших элементов, в основу которой положен логический анализ результатов всевозможных попарных сравнений выходных параметров элементов. На выход мажоритарной системы передается информация y, совпадающая с выходной информацией, по крайней мере, в k из n элементов. Отказавшие элементы системы не восстанавливаются после отказа. По этой причине подобные системы относят к классу резервированных систем без восстановления.

Здесь, как и во всех ниже рассматриваемых структурах, уровень сложности элемента может быть любой (функциональный узел, блок, система). Недостатком рассмотренного варианта является неполное использование аппаратурных ресурсов, поскольку отказ системы наступает, когда в ее составе присутствуют k-1 исправных элементов. Заметим, что для простоты здесь и далее не учитывается ненадежность схемы голосования.

Пример. Пусть система состоит из трех одинаковых элементов, характеризующихся на заданном интервале времени надежностью ;= 1- = 0,3 и пусть используется правило голосования 2/3. При этом отказ системы наступает, когда один из ее элементов еще исправен. Тогда ВБР системы при n=3 и k=2 равна

.