2. Тестовое диагностирование динамических устройств

   1. Тестовое диагностирование дискретных устройств. Общий подход

Ситуация существенным образом осложняется, если объект представляет собой динамическую систему. В том случае он имеет следующую структуру (рис. 4.7), включающую два безынерционных функциональных преобразователя и, а также инерционный блок (интеграторы, задержки, триггеры). Если попытаться следовать букве иерархического подхода, то средства диагностирования для динамического устройства нужно было бы представить как состоящие из двух частей: теста для безынерционных преобразователей и теста для связей между ними, реализуемых через инерционные элементы. Однако реализовать на практике такое предложение, как правило, будет затруднительно, т.к. входные векторы этих преобразователей имеют в своем составе не только независимые входы, на которых можно формировать любые входные сигналы, но также сигналы обратных связей, значения которых определяются внутренним состоянием объекта. В результате процесс формирования требуемых тестовых наборовна входе безынерционных преобразователей превращается в многошаговую процедуру (рис. 5.2), порождающую определенную тестовую последовательность. Начальный отрезок этой последовательности устанавливает объект из начального состоянияв тестовое состояние. В этом состоянии на вход объекта подается входной сигнал, а затем полученная реакция устройства в виде его состояниятранслируется на выход объекта путем организации соответствующего чувствительного пути. В результате значение выходаобъекта будет зависеть от результатов проверки. Проверка связей между безынерционными преобразователями через инерционные элементы составляет второй этап диагностирования, который обычно выполняется попутно с первым.

Пусть тест для безынерционных преобразователей устройства известен и задан двумя множествами для φ – и для δ –, где каждый тестовый входной вектор из множествисостоит из подвектора внешних входов и подвектора внутреннего состояния, т.е.и требует для своей реализации процедур установки и трансляции. Тогда тестовая входная последовательность для устройства имеет следующую структуру

.

где последний элемент последовательности предназначен для проверки элементов задержки, которая по существу тривиальна и обычно выполняется попутно с проверкой преобразователей.

Нетрудно видеть, что описанная процедура построения теста достаточно сложна, особенно если учесть, что установку и трансляцию придется осуществлять в условиях присутствия отказа. Нетрудно, по-видимому, догадаться, что стремление построить «честный» тест на этом пути приведет нас к весьма продолжительным, а возможно, и недопустимо продолжительным с точки зрения практики проверкам. Конечно, в этом случае будет правильным потребовать от разработчика устройства предусмотреть возможность его установки, если не в любое тестовое, то хотя бы в одно начальное состояние.

2. Тестовое диагностирование линейных дискретных устройств. Структурный подход

Проблема существенно упрощается в случае линейных устройств, поэтому проиллюстрируем описанные идеи на примере тестового диагностирования устройства из этого класса [15]:

(5.1)

где элементы векторов и матриц принимают значения из множества {0, 1}, т.е. устройство является линейным в поле вычетов по модулю 2 (операция сложения – исключающее ИЛИ).

Установочная последовательность и управляемость устройства

Пусть тест для безынерционных преобразователей φ и δ (рис. 4.8) рассматриваемого устройства представлен двумя соответствующими множествами входных векторов для φ – и для δ –. В линейном устройстве преобразователь φ описывается матрицамиF и G, а преобразователь δ матрицей H. Как говорилось выше, каждый тестовый входной вектор из множеств исостоит из подвектора внешних входовu и подвектора внутреннего состояния x и требует для своей реализации процедур установки и трансляции.

Рассмотрим процедуру установки устройства в некоторое заданное тестовое состояние . Запишем выражения для состояния системы на протяжении изn тактов:

Используя блочные матрицы, перепишем последнее выражение для финального состояния, в которое переходит устройство под действием установочной последовательности (u(0), u(1),…, u(n-1)):

Введем матрицу, известную как матрица управляемости, и матрицу-столбец входной последовательностиu*:

(5.2)

Отсюда в предположении, что ,получаем выражение для вычисления установочной последовательности:

. (5.3)

где верхний индекс «+» означает обращение матрицы, если она квадратная, и псевдообращение матрицы, если она прямоугольная [17].

Таким образом, если матрица управляемости неособенна (критерий управляемости), то с использованием выражений (5.3) для любого состояния может быть вычислена установочная последовательность длинойn. В таких случаях говорят, что устройство полностью управляемо. При этом общее определение управляемости звучит следующим образом.

Устройство управляемо, если для каждого момента времени t₀ найдется такой момент времени t₁ () такой, что для любой пары состояний () существует входная последовательность, переводящая систему из в.

Следует иметь в виду, что для конкретного управляемого устройства установочные последовательности могут иметь длину, меньшую n. Это происходит в тех случаях, когда входы устройства непосредственно связаны со входами многих элементов задержки (интеграторов). Причем когда длина установочной последовательности оказывается равнойk<n, то говорят оk- управляемости (k– индекс управляемости).

Транслирующая последовательность и наблюдаемость устройства

Теперь рассмотрим процесс трансляции на выход результатов неправильного срабатывания устройства на тестовом наборе. Эти результаты выражены неправильным вектором состояния, поэтому задача сводится к оценки значения этого вектора. Запишем выражения для выхода устройства на протяжении n тактов:

Преобразуем полученные выражения, перенеся в каждом из них слагаемые, содержащие u, в левую часть:

Обозначим вектор левых частей через и введем матрицу наблюдаемости. В результате получаем

. (5.4)

Если матрица неособенная, то

, (5.5)

Таким образом, если матрица неособенная, то состояниевсегда может быть определено (критерий наблюдаемости). В случае, когда критерий выполняется, говорят, что система полностью наблюдаема.

Обращаем внимание на тот факт, что для наблюдаемой системы любая входная последовательность длины nявляется транслирующей.

Также как и при определении установочных последовательностей для конкретного наблюдаемого устройства транслирующие последовательности могут иметь длину, меньшую n. Это происходит в тех случаях, когда выходы устройства непосредственно связаны с выходами многих элементов задержки (интеграторов). Причем когда длина транслирующей последовательности оказывается равнойk<n, то говорят оk-наблюдаемости (k– индекс наблюдаемости).

Для того, чтобы проникнуться в физический смысл свойства наблюдаемости, ниже приводятся примеры трех динамических систем четвертого порядка с двухмерным входным вектором, одна из которых наблюдаема, а две ненаблюдаемы.

Пример 5.1.(наблюдаемая система). Проверим наблюдаемость системы, которая характеризуется матрицами:

;;.

Определим матрицу наблюдаемости:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, т.е. матрица неособенная. Следовательно, система наблюдаема. Структурная схема системы приведена на рис. 5.3а, где прямоугольники обозначают элементы задержки, кружки – сумматоры;– вектор состояния;– вектор возмущений, z – измерения (скалярный выход).

Пример 5.2.(ненаблюдаемая система).Проверить наблюдаемость системы, которая характеризуется матрицами:

,,.

Определим матрицу наблюдаемости:

.

Определитель этой матрицы равен нулю, т.е. матрица особенная. Следовательно, система ненаблюдаема. Структурная схема системы приведена на рис. 5.3б. Из ее анализа легко заметить причину ненаблюдаемости системы. Действительно, сигнал с четвертого элемента задержки не участвует в формировании выхода системы, а значит, его состояние не может быть оценено по измерениям.

Пример 5.3. (ненаблюдаемая система).Проверить наблюдаемость системы, которая характеризуется матрицами:

;;.

Определим матрицу наблюдаемости

.

Определитель этой матрицы также равен нулю, т.е. матрица особенная. Следовательно, система также ненаблюдаема. Структурная схема системы приведена на рис. 5.3 в. Из ее анализа ненаблюдаемость системы следует не с такой очевидностью, как в предыдущем случае, однако ее также можно заметить. Действительно, четвертый и третий элементы задержки, хотя и участвуют в формировании выхода системы, но представлены при этом суммой своих значений. В результате по измерениям невозможно определить, какой вклад в эту сумму вносит каждое из слагаемых, а значит, и невозможно оценить состояние системы.

Последний пример является достаточно значимым с точки зрения практики. Заметим, что в этом примере при различной динамике фрагментов, выходы которых суммируются, система становится наблюдаемой. Действительно, в рассмотренном примере матрицы динамики фрагментов, выходы которых суммируются, одинаковы и равны нулю (состояние третьего и четвертого элементов задержки не зависят от состояний каких-либо элементов задержки). Однако если матрицу динамики в одном из фрагментов изменить, то система становится наблюдаемой. Этот эффект можно заметить при переходе от третьего примера к первому. В первом примере также суммируются выходы третьего и четвертого элементов задержки, но матрица динамики, включающая четвертый элемент задержки равна единице, а не нулю, как это имеет место во фрагменте с третьим элементом задержки. В результате, как уже отмечалось, система из первого примера наблюдаема.

Не будем приводить подобных примеров для обсуждения свойства управляемости, поскольку придем к похожим выводам. Об этом можно уверенно говорить, основываясь на известном принципе двойственности.

Из всего сказанного можно сделать один очень важный вывод: в линейном устройстве задачи установки и трансляции могут решаться в предположении, что система исправна, поскольку любое отклонение от неправильного функционирования будет обнаружено на одном из последующих nтактов.

Пример 5.1. Построить тест, обнаруживающий одиночные константные отказы в линейном двоичном устройстве, которое является 3-наблюдаемым и 3-управляемым и описывается матрицами:

Это устройство является 3-управляемым и 3-наблюдаемым, поскольку как матрица , так и матрицасодержат по 7 линейно независимых столбцов. Эти столбцы образуют матрицы

Тест для преобразователей изадан и приведен в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

	0 1 0 1	0 0 1 1	0 0 1 1	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 0 1	0 0 1 1	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

В соответствии с таблицей первый тестовый переход совершается из нулевого состояния, в которое, как предполагается, устройство устанавливается перед началом работы специальным сигналом. Поэтому необходимо установить устройство последовательно в состояния и, подавая в каждом из них на вход устройства соответствующий тестовый входной набор (010, 100, 111). С использование выражения (5.3) вычислим для каждого из трех тестовых состояний одну из возможных установочных последовательностей:

В результате длина итоговой тестовой последовательности равна 16, а сама последовательность имеет вид:

.

Последние три нулевых вектора предназначены для трансляции на выход результатов последнего тестового перехода.