2. Динамические модели

Модели средств автоматики. Без преувеличения можно сказать, что динамическая модель устройства является самой распространенной при решении задач технической диагностики и применяется она, прежде всего, для описания средств автоматики. Стремление использовать динамические модели связано с тем, что в большинстве случаев разработчик, как бы ему не хотелось упростить задачу, вынужден учитывать инерционность рассматриваемого устройства. Для отражения инерционности устройства в его модель включают элементы задержки и памяти, интеграторы, и при описании обычно вводится вектор состояния.

Если устройство – цифровое, то используется модель конечного автомата (рис. 4.9), включающая два логических преобразователя - уравнение динамики (функция переходов) φ и уравнение измерений (функция выходов) δ:

, (4.5)

и элементы задержки для вектора состояния. Выше в скобках указаны термины, используемые в теории автоматов.

Если объект аналоговый, то используются дифференциальные уравнения, которые, например, в случае линейных объектов имеют вид:

(4.6)

где x, u, y - векторы состояния, входа и выхода, а F – (n x n)-матрица динамики, G – (n x p)-матрица входа, H – (m x n)-матрица выхода объекта.

Наряду с дифференциальными уравнениями может использоваться передаточная функция [5]:

. (4.7)

В случае нелинейных объектов дифференциальные уравнения становятся нелинейными:

(4.8)

где - нелинейные функции динамики и выхода объекта.

Если объект - дискретный, то вместо дифференциальных применяются либо линейные:

(4.9)

либо нелинейные разностные уравнения:

(4.10)

Приведем примеры динамических моделей, которые заимствованы из работ [5, 21] и которые будут использованы в дальнейшем для иллюстрации описываемых методов диагностирования.

Пример 4.1. Управление водяной торпедой.

Рассмотрим в качестве примера модель водяной торпеды, описываемую нелинейным уравнением:

,

где – момент инерции торпеды,– угол поворота торпеды.

Пример 4.2. Контур управления самолетом.

Рассмотрим пример системы, заимствованный из работы [21], характеризующийся матрицами:

По смыслу данная система представляет собой редуцированную модель контура управления самолетом по высоте, которая была получена линеаризацией уравнений движения самолета в окрестностях номинальной траектории. Это описание охватывает управляемый объект, сервопривод управления рулем, датчик высоты и регулятор.

Модель обмена в распределенной информационно-управляющей системе. Ниже рассматривается нетрадиционный пример применения динамической модели [19] для описания обменов в распределенной информационно-управляющей системе. Он демонстрирует широкий диапазон приложений для этой модели. Эта модель позволит нам при необходимости решать задачу диагностирования всей информационно-управляющей системы в целом. Сразу оговоримся, что модель предназначена для использования при тестовом диагностировании и, если быть точным, то при тестовом диагностировании системы обмена, когда ставится цель обнаруживать нарушения в содержании и последовательности обменов. Предполагается, что при диагностическом эксперименте вместе с основной (например, навигационной) информацией через систему передается дополнительная тестовая информация, обрабатываемая по специальным диагностическим алгоритмам. На рис. 4.10. представлена структура некоторой гипотетической распределенной информационно-управляющей системы, под которой может подразумеваться, например, интегрированная навигационная система. Она состоит из трех основных функционально связанных локальных систем Σ₁, Σ₂ и Σ₃ и двух вспомогательных СД и КК. Все локальные системы обмениваются информацией через магистральный канал связи с централизованным управлением. Основные системы выполняют обработку информации, поступающей извне (например от датчиков). Контроллер канала (КК) управляет обменом. Главной функцией системы СД является диагностирование распределенной системы. Все эти функции выполняются системами с некоторым заданным периодом, определяемым, например периодом съема информации с датчиков.

Пусть для определенности граф информационных связей системы имеет вид, представленный на рис. 4.11. Каждая из основных систем на основе входных данных (u₁ – для Σ₁, u₂ – для Σ₂, y₁ и y₂ – для Σ₃) формирует выходные (y₁, y₂ и y₃ соответственно). Все эти данные имеют вид массивов информационных слов. Пусть за период решения между системами происходит N сеансов обмена информацией. В данном случае их три. В первом сеансе система Σ₁ передает информацию системе Σ₃, во втором система Σ₂ передает информацию системе Σ₃, а в третьем система Σ₃ передает информацию системе Σ₂. На рис. 4.12а представлены временные диаграммы работы распределенной системы на одном периоде. Работа любой локальной системы состоит из чередующихся интервалов времени приема информации (ПР), обработки информации (ОИ), передачи информации (ПД), диагностирования (Д).Таким образом, в периоде функционирования каждой системы отведено время для использования средств диагностирования. На временной диаграмме контроллера канала отмечены цифрами моменты начала инициируемых им сеансов обмена. Эта временная диаграмма должна измениться, если ставится задача о диагностировании обменов. В требуемом виде она представлена на рис. 4.12б. В ней по отношению к исходной появились дополнительные сеансы обмена, в которых система СД передает тестовую информацию системам Σ₁ и Σ₂ и принимает от системы Σ₃ результат обработки в распределенной системе тестовой информации.

Не забывая о поставленной цели – формирования математической модели обмена, сначала будем рассуждать так, как будто мы формируем модель всей распределенной системы в целом. Прежде всего, заметим, что в дальнейшем нам не раз будет предоставлена возможность убедиться в том, что задача построения средств диагностирования для линейных систем существенно проще, чем для нелинейных. С учетом этого было бы желательно, чтобы диагностируемая распределенная система описывалась бы линейной динамической моделью. Однако исходная система, как правило, нелинейна, т.к. в ее локальных системах реализуются нелинейные алгоритмы обработки информации и управления. Тем не менее, выход есть, поскольку речь идет лишь о тестовом диагностировании. В этом случае система не работает по прямому назначению, а значит, может работать по любому другому алгоритму, в том числе, и линейному. Итак, принимаем, что каждая из локальных систем описывается линейной динамической моделью (4.9), а точнее, с учетом того, что алгоритмы работы систем различны имеем:

(4.11)

Модель распределенной системы в целом представляется как композиция моделей подсистем. При этом вектор состояния модели будет составлен из векторов состояний локальных систем. В свою очередь, вектор состояния конкретной локальной системы – это результат переработке в ней поступившей тестовой информации. Входной информацией для распределенной системы будет информация, снимаемая с датчиков или получаемая от других систем. Выходной же информацией будет информация, выдаваемая внешним потребителям. Логично предположить, что и модель всей системы в целом также будет динамической и линейной:

(4.12)

Однако эта модель требует уточнений, для чего проанализируем работу системы. Первый вопрос, который напрашивается, какие моменты времени в работе системы определяют дискретное время модели k = 0, 1,… В эти моменты времени происходит изменение состояния и, как следствие, выхода системы. Будем считать, что последовательность этих моментов образуют моменты окончания сеансов обмена (выдачи и приема) информацией между системами. Это допущение вызвано тем, что нас на самом деле интересует не модель системы в целом, а лишь модель ее обменных процессов.

Пусть информация передается из Σ_i в Σ_j. Из методических соображений запишем сначала преобразование вектора состояния системы при обмене без обработки информации во взаимодействующих системах. Это преобразование описывается блочной матрицей (4.13). Причем в результате преобразования состояния всех локальных систем, кроме Σ_j, не изменяются. Вектор же состояния системы Σ_j заменяется на вектор состояния системы Σ_i. Факт сохранения состояния локальной системы описывается единичной диагональной матрицей E, размещаемой в соответствующем блоке диагонали блочной матрицы. Факт передачи информации описывается также размещением матрицы E, но уже в блоке (j, i).

(4.13)

Теперь Тогда при выдаче информации срабатывает модель Σ_i в соответствии с (4.11). Однако приема нет, поэтому второе слагаемое в уравнении динамики равно нулю (G_i = 0), т.е.

При приеме информации срабатывает модель Σ_j

.

Однако выдача информации не производится, поэтому выходная информация равна нулю (H_j = 0).

Используя высказанные соображения, запишем уравнение распределенной системы для рассмотренного обмена в предположении, что число локальных систем равно L. При этом в записи уравнения не будем указывать нулевые элементы матрицы динамики, а через E обозначим единичную диагональную матрицу:

Уравнение, описывающее прием информации от системы СД, имеет более простой вид, поскольку участвует в обмене и срабатывает модель только одной принимающей локальной системы Σ_j.

Поскольку при этом информация в СД не выдается (H_j = 0), то выходная информация равна нулю.

Уравнение, описывающее выдачу информации в СД, также имеет более простой вид, поскольку участвует в обмене и срабатывает модель только одной выходной подсистемы Σ_s.

По приведенным выражениям для матриц модели системы видно, что, во-первых, они являются блочными и в качестве блоков содержат матрицы моделей подсистем, во-вторых, их вид зависит от номера сеанса обмена, а, в-третьих, эти матрицы повторяются с периодом работы системы обмена, т.е. через каждые N сеансов. Про такие динамические системы говорят, что они периодически нестационарны и их обобщенное описание имеет вид:

(4.13)

То же самое можно сказать и про модели, связанные с отдельными подсистемами. Они также будут периодически нестационарными, поскольку каждая из подсистем либо участвует, либо не участвует в конкретном сеансе обмена. В результате имеем:

Приведем матрицы модели распределенной системы для примера на рис. 4.10

,

.