Аналитические методы расчета

Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.

Основными аналитическими методами, используемыми при решении  широкого круга задач электротехники, являются:

– метод условной линеаризации;

–  метод аналитической аппроксимации;

– метод кусочно-линейной аппроксимации.

 

Метод условной линеаризации

Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, например. С использованием этой характеристики находится затем временная зависимостьдля второй определяющей ее переменной по алгоритму:

.

Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.

В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи на рис. 1, если , где;;;. Вебер–амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на  рис. 2.

 

1.  Запишем уравнение состояния цепи после коммутации

.

(1)

2. Используя  метод условной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как

,

(2)

где ;и- амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном  режиме;.

3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение

,

решением которого на основании классического метода расчета переходных  процессов является

.

4. Принужденная составляющая определяется соотношением

,

где .

Для определения ипредположим (с последующей проверкой), что. При этом условиии. По зависимостидля полученного значениянайдем.Тогдаи, т.е. сделанное выше предположение корректно.

Следует отметить, что в общем  случае значения имогут быть определены, например, итерационным методом.

 Определив , запишем

.

Поскольку по условию , то.

Таким образом,

.

(3)

6. Не  решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления  имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при . Подставив это время в (3), получим:

По  кривой длянайдем максимальное значение тока, которое враз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним,  что для линейной цепи

Примечания:  1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного  процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального  напряжения эквивалентная линейная индуктивностьопределяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся  послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере.  Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину  индуктивности следует определять по начальному участку вебер–амперной характеристики,  гдемаксимальна.

2. Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой  достаточно велико, так что , то следует пренебречь нелинейностью слагаемого, положив. В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида

,

и соответственно кривая определяется по кривыми.