- •Учебное пособие по курсу электротехники
- •Теоретические основы электротехники
- •Введение
- •Лекция n 1 Элементы электрических цепей
- •1. Резистивный элемент (резистор)
- •2. Индуктивный элемент (катушка индуктивности)
- •3. Емкостный элемент (конденсатор)
- •Схемы замещения источников электрической энергии
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 2 Топология электрической цепи
- •Топологические матрицы
- •Первый закон Кирхгофа
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 3 Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел
- •Действующее значение переменного тока
- •Синусоидально изменяющийся ток
- •Изображение синусоидальных эдс, напряженийи токов на плоскости декартовых координат
- •Векторное изображение синусоидальноизменяющихся величин
- •Представление синусоидальных эдс, напряжений и токов комплексными числами
- •Действующее значение синусоидальных эдс, напряжений и токов
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 4 Элементы цепи синусоидального тока. Векторныедиаграммы и комплексные соотношения для них
- •1. Резистор
- •2. Конденсатор
- •3. Катушка индуктивности
- •5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов
- •6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов
- •7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 5 Закон Ома для участка цепи с источником эдс
- •Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока
- •Специальные методы расчета
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 6 Основы матричных методов расчета электрических цепей
- •Метод контурных токов в матричной форме
- •Метод узловых потенциалов в матричной форме
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 7 Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока
- •1. Резистор (идеальное активное сопротивление).
- •2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)
- •3. Конденсатор (идеальная емкость)
- •Полная мощность
- •Комплексная мощность
- •Баланс мощностей
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 8 Резонансы в цепях синусоидального тока
- •Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)
- •Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами (резонанс токов)
- •Резонанс в сложной цепи
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 9 Векторные и топографические диаграммы
- •Потенциальная диаграмма
- •Преобразование линейных электрических схем
- •1, Преобразование последовательно соединенных элементов
- •2 Преобразование параллельно соединенных ветвей
- •3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 10 Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
- •Воздушный (линейный) трансформатор
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 11 Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками
- •Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией
- •Решение
- •Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 12 Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей
- •Метод наложения
- •Принцип взаимности
- •Линейные соотношения в линейных электрических цепях
- •Принцип компенсации
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 13 Метод эквивалентного генератора
- •Теорема вариаций
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 14 Пассивные четырехполюсники
- •Характеристическое сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 15 Электрические фильтры
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 16 Трехфазные электрические цепи
- •Схемы соединения трехфазных систем
- •Соединение в звезду
- •Соединение в треугольник
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n17 Расчет трехфазных цепей
- •Расчет симметричных режимов работы трехфазных систем
- •Расчет несимметричных режимов работы трехфазных систем
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 18 Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов
- •Мощность в трехфазных цепях
- •Измерение мощности в трехфазных цепях
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 19 Метод симметричных составляющих
- •Свойства симметричных составляющих токов и напряжений различных последовательностей
- •Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов различных последовательностей
- •Применение метода симметричных составляющих для симметричных цепей
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 20 Теорема об активном двухполюснике для симметричных составляющих
- •Выражение мощности через симметричные составляющие
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 21 Вращающееся магнитное поле
- •Магнитное поле катушки с синусоидальным током
- •Круговое вращающееся магнитное поле двух- и трехфазной обмоток
- •Магнитное поле в электрической машине
- •Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 22 Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
- •Характеристики несинусоидальных величин
- •Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье
- •Свойства периодических кривых, обладающих симметрией
- •Действующее значение периодической несинусоидальной переменной
- •Мощность в цепях периодического несинусоидального тока
- •Методика расчета линейных цепей при периодических
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 23 Резонансные явления в цепях несинусоидального тока
- •Особенности протекания несинусоидальных токов через пассивные элементы цепи
- •Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 24 Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
- •Классический метод расчета
- •Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 25 Способы составления характеристического уравнения
- •Общая методика расчета переходных процессов классическим методом
- •Примеры расчета переходных процессов классическим методом
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 26 Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов
- •Переходные процессы при подключении последовательной r-l-c-цепи к источнику напряжения
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 27 Операторный метод расчета переходных процессов
- •Некоторые свойства изображений
- •Изображения производной и интеграла
- •Закон Ома в операторной форме
- •Законы Кирхгофа в операторной форме
- •Переход от изображений к оригиналам
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 28 Некоторые важные замечания к формуле разложения
- •Последовательность расчета переходных процессов операторным методом
- •Формулы включения
- •Сведение расчета переходного процесса к расчету с нулевыми начальными условиями
- •Переходная проводимость
- •Переходная функция по напряжению
- •Литература
- •Контрольные вопросы
- •Лекция n 29 Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля
- •Последовательность расчета с использованием интеграла Дюамеля
- •Метод переменных состояния
- •Методика составления уравнений состояния
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 32 Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках. Основные понятия и законы магнитных цепей
- •Характеристики ферромагнитных материалов
- •Магнитомягкие и магнитотвердые материалы
- •Статическая и дифференциальная магнитные проницаемости
- •Основные законы магнитных цепей
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 33 Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
- •Регулярные методы расчета
- •1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи
- •2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи
- •Графические методы расчета
- •1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи
- •2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи
- •Итерационные методы расчета
- •Статическая и дифференциальная индуктивности катушки с ферромагнитным сердечником
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 34 Нелинейные цепи переменного тока в стационарных режимах
- •Особенности нелинейных цепей при переменных токах
- •Основные типы характеристик нелинейных элементов в цепях переменного тока
- •Графические методы расчета
- •Графический метод с использованием характеристик для мгновенных значений
- •Решение
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 35 Графический метод с использованием характеристик по первым гармоникам
- •Графический метод с использованием характеристик для действующих значений (метод эквивалентных синусоид)
- •Феррорезонансные явления
- •Аналитические методы расчета
- •Метод аналитической аппроксимации
- •Литература
- •Лекция n 36 Метод кусочно-линейной аппроксимации
- •Метод гармонического баланса
- •Литература
- •Лекция n 37 Метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям)
- •Катушка с ферромагнитным сердечником
- •Трансформатор с ферромагнитным сердечником
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 38 Переходные процессы в нелинейных цепях
- •Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях
- •Аналитические методы расчета
- •Метод условной линеаризации
- •Метод аналитической аппроксимации
- •Метод кусочно–линейной аппроксимации
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 40 Цепи с распределенными параметрами
- •Уравнения однородной линии в стационарном режиме
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 41 Линия без искажений
- •Уравнения линии конечной длины
- •Уравнения длинной линии как четырехполюсника
- •Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания
- •Линия без потерь
- •Стоячие волны в длинных линиях
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 42 Входное сопротивление длинной линии
- •Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
- •Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
- •Переходные процессы при включении на постоянное напряжение разомкнутой и замкнутой на конце линии
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Лекция n 43 Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям
- •Правило удвоения волны
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
Метод гармонического баланса
Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.
Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.
Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.
2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.
3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами и начальными фазами.
4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.
5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд и начальных фазфункции разложения определяемой величины.
6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно и.
Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникамнесинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.
Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения и состоящей из последовательно соединенных линейного резистораи нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида, необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражением, гдеи- неизвестные (искомые величины).
Для решения определяем аналитическое выражение характеристики для первых гармоник:
откуда
. |
(2) |
После подстановки выражения тока и соотношения (2) в уравнение состояния цепи
получаем
или
На основании последнего получаем систему уравнений
из которых находим искомые параметры и.