Числовые характеристики математическое ожидание m(X)
|
Определение.
|
Сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятности этих значений называется математическим ожиданием
Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание случайной величины приближенно равно среднему значению случайной величины, около которого группируются все возможные значения случайной величины |
Пример3.
Для ряда распределения из примера 2 вычислим математическое ожидание:
.
|
Свойства математического ожидания:
|
,где
.
.
,
если случайные величины
,
,
,
…,
взаимно независимы.
Пример4.
Дано
,
.
Найдите
.
Решение.
.
Зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить ни о ее возможных значениях, ни о рассеянии значения около математического ожидания.
Для оценки рассеивания случайной величины используют значение дисперсии.
Дисперсия d(X)
|
Определение.
|
Дисперсиейслучайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Вероятностный смысл дисперсии: характеризует степень рассеивания случайной величины около математического ожидания. |
При вычислении дисперсии используют еще одну формулу, которая значительно проще:
.
Пример5.
Для ряда распределения из примера 2 вычислим дисперсию.
1 способ.
Так как
,
то по формуле
дисперсия имеет значение:
.
2 способ.
Вычисли вначале
.
Так как
,
то
,
тогда по второй формуле дисперсия
вычисляется:
.
|
Свойства дисперсии:
|
,
.
.
,
если случайные величины
,
,
,
…,
взаимно независимы.
Пример6.
Дано
,
.
Найдите
.
Решение.
.
Легко заметить, что в отличие от математического ожидания, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Для характеристики рассеивания более удобно использовать другую величину, размерность которой совпадает с размерностью величины. Такой характеристикой является среднее квадратичное отклонение.
Среднее квадратичное отклонение
|
Определение.
|
Средним квадратичным отклонениемслучайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Вероятностный смысл дисперсии: характеризует степень рассеивания случайной величины около математического ожидания (в одной размерности со случайной величиной). |
.Пример7.
Дано
.
Найдите
.
Решение.
.
Мода Мо(X)
|
Определение.
|
Модой Мо(Х)называется значение случайной величины, у которой достигается наибольшее значение вероятности. Если таких значений несколько, при которых достигается наибольшее значение вероятности, то случайная величина называется полимодальной. |
Пример8.
В ряде распределения из примера 2 мода
принимает значение равное 1, т.е.
.
Мода важна, она позволяет узнать при каком значении случайная величина принимает самое большое вероятностное значение (т.е. встречается всех чаще).
Медиана Ме(X)
|
Определение.
|
Медианой Ме(X) случайной величины, которое принимает нечетное число значений, называется значение случайной величины, которая окажется посередине; если число значений случайной величины четное, то медианой будет среднее арифметическое двух стоящих посередине значений случайной величины. |
Пример8.
В ряде распределения из примера 2
случайная величина принимает 4 значения
(
,
,
,
),
т.е. четное число значений, значит
.
При анализе значений случайной величины медиана позволяет выделять значения случайной величины, которые выше или ниже среднего значения случайной величины.