2.4. Распределение Пуассона
Для того чтобы
найти вероятность того, что при очень
большом числе испытаний, в каждом из
которых вероятность события очень мала,
событие наступит ровно k
раз. При
,n –
число независимых испытаний, p
– вероятность наступления события А.
Воспользуемся законом распределения
Пуассона вероятностей массовых (n
– велико) и редких ( p
– мало)
событий.
(2.19)
Математическое ожидание в этом случае имеет вид:
Пример 1
Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0.0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.
Решение. По условию,
Найдём
.
По формуле Пуассона искомая вероятность приближённо равна
2.5. Экспоненциальное распределение
Случайная величина х распределена по экспоненциальному закону, если плотность вероятности имеет вид
,
(2.20)
где х
– случайная
величина,
- постоянная.
Если за случайную величину принять время работы до отказа изделия то выражение для плотности вероятности можно переписать в следующем виде:
,
(2.21)
где t
– время работы до отказа,
- интенсивность отказов.
Для характеристик
непрерывных распределений используется
функция распределения
:
.
(2.22)
Подставив сюда выражение дл плотности вероятности, получим значение функции распределения для экспоненциального закона:
.
(2.23)
Физический смысл
функции распределения
- это вероятность того, что случайная
величина попадает в интервал от0
до t.
Экспоненциальный закон распределения характеризуется математическим ожиданием (среднее время наработки на отказ)
.
(2.24)
Экспоненциальный закон применяется только в тех случаях, когда наблюдается незначительный сбой в работе изделия, а отказы распределены равномерно в равных интервалах времени.
2.6. Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков событий служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолётов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и др.
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
,
(2.25)
Вероятность
появления k
событий за промежуток времени, равный
t,
- интенсивность потока событий.
Пример 2
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
Поток вызовов предполагается простейшим.
Решение.
По условию
,
воспользуемся формулой Пуассона.
а) искомая вероятность того, что за 5 минут поступит 2 вызова
.
Это событие практически невозможно
Б) Событие «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 минут поступит менее двух вызовов, равна
Это событие практически невозможно.
В) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 минут поступит не менее двух вызовов.
Это событие практически достоверно.