Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

(2.10)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

(2.11)

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

(2.12)

Пример 3

Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:

Х 5 2 3 У 7 9

Р 0.6 0.1 0.3 р 0.8 0.2

Найти математическое ожидание величины ХУ.

Решение:

Найдём математическое ожидание каждой из данных величин:

Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях?

Теорема

Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

. (2.13)

Пример 4

Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия . Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

.

Если - случайная величина, то функция

(2.14)

называется функцией распределения случайной величины . Здесь -- вероятность того, что случайная величинапринимает значения, не превосходящие числа.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• определена на всей числовой прямой R;

• не убывает, т.е. если, то;

• ,,т.е. и

• непрерывна справа, т.е.

 Функция распределения содержит всю информация об этой случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением. Так что, когда говорят о нормальном распределении, то подразумевают случайную величину, имеющую нормальную функцию распределения.

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

 Пример 5

Случайная величина принимает значение числа очков, выпавшее при однократном бросании кости. Определим ее функцию распределения :

Если - дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями, то таблица вида

			...		...
			...		...

называется распределением дискретной случайной величины.

Вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервалвычисляется для дискретной случайной величины по формуле:

(2.15)

2.3. Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления ). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величиныХ число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях либо появится 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, (2.16)

где k=0, 1, 2, …, n.

Данная формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Распределение, определяемое формулой Бернулли называют биноминальным. Потому что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.

. (2.17)

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй членопределяет вероятность наступления событияраз; …; последний членопределяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

X n n-1 … k … 0

Р ……

Математическое ожидание для биноминального распределения имеет вид:

, (2.18)

Пример 6

Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение:

Вероятность появления герба в каждом бросании монеты , следовательно вероятность непоявления герба.

При бросании монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Х 2 1 0

Р 0.25 0.5 0.25.