Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.
Пусть производится серия из n ‒ независимых испытаний (опытов), в каждом из которых событие A наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие A не произойдет, обозначим: q=1 ‒ p.
Вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие произойдет ровно m ‒ раз, находится по формуле Бернулли:
‒ формула Бернулли.
Пример.
Вероятность
попадания мяча в кольцо составляет:
Вероятность
промаха мяча в кольцо составляет
Найти:
1. Вероятность того, что при 7 бросках мяч попадет 4 раза (событие A).
2.
Вероятность того, что мяч попадет не
менее 4-х раз, то есть
или
,
или
,
или
,
или
.
Решение:
Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов).
Определение.
Число
наступления событияA
в n
‒
независимых испытаниях называется
наивероятнейшим,
если вероятность осуществления этого
события, по крайней мере, не меньше
вероятностей других событий.
Наивероятнейшее
число
наступления
события (число успехов) удовлетворяет
следующему неравенству:
где
;
вероятность
наступления события в отдельном
испытании.
Пример.
Вероятность
изготовления на автоматическом станке
стандартной детали
.
Найти вероятности возможного числа
появления бракованных деталей среди
пяти отобранных и выбрать среди них
наивероятнейшее число бракованных
деталей.
Решение:
1 способ.
вероятность
изготовления стандартной детали.
;
вероятность
появления брака.
Тогда
Следовательно,
наивероятнейшее число бракованных
деталей
.
2способ.
Оценим
с помощью неравенства:
Следовательно,
,
множество
целых чисел.
Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная).
При большом значении n применение формулы Бернулли затруднительно. Тогда используют формулу Муавра‒ Лапласа. Муавр доказал частный случай для p =1/2.
где
‒ функция Лапласа, значения в таблице № 1.
если
,
Пример.
Установлено, что 94% лиц, которым сделали прививку от туберкулеза, приобретают иммунитет. Найти вероятность того, что среди 100 000 граждан, которым делали прививки, 5800 не защищены от туберкулеза.
Решение:
Интегральная формула Лапласа.
Если требуется найти вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие наступит не меньше a ‒ раз и не больше b ‒ раз, то применяют интегральную формулу Лапласа:
,
где
‒ интегральная функция Лапласа, значения в таблице № 2.
Ф(‒х) = ‒ Ф(x) ‒ функция нечетная.
При
х
Пример.
Из каждых 100 семей 80 имеют телефоны.
Найти вероятность того, что:
1. Из каждых 400 семей 300 имеют телефоны.
2. От 300 до 360 семей из каждых 400 имеют телефоны.
3.
Не менее 360 семей из 400 семей имеют
телефоны (
)
Решение:
1.
2.
3.
Так как
,
то
Формула Пуассона.
Если
p
(начинается
с сотых долей), то формула Муавра ‒
Лапласа дает большую погрешность по
сравнению с формулой Бернулли. В этом
случае пользуются формулой Пуассона:
где
λ
=
np
‒
параметр Пуассона, где
≤
10.
Пример.
На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что 1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение:
Вероятность того, что день рождения
студента 1-го сентября
‒ мала,n
= 1825 ‒ велико, λ
= np
= 5
≤ 10. Следовательно, воспользуемся
формулой Пуассона:
7. Понятие случайной величины и ее числовые характеристики.
1. Понятие случайной величины.
2. Дискретная случайная величина и законы распределения.
3. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
4. Дисперсия и её свойства.
Под случайной величиной, связанной с некоторым испытанием, понимается всякая величина, которая при осуществлении испытания принимает то или иное числовое значение.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга, значения с определенными вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Случайные
величины обозначаются
а
их возможные значения соответственно,
.
Закон распределения случайной величины Х может иметь вид:
1) Ряд распределения случайной величины
|
X |
|
|
|
… |
|
|
P |
|
|
|
… |
|
2) Многоугольник распределения
По оси х ‒ откладываются значения случайной величины, а по оси у ‒ их вероятности. Соединив полученные точки ломаной, получим многоугольник распределения.