Ковариация и коэффициент корреляции.

Пусть имеется двумерная случайная величина (Х и Y).

Степень зависимости её составляющих Х и Y, выражает ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариацией или корреляционным моментом называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин Х и Y от их математических ожиданий.

Обозначается:

Раскрыв скобки и преобразовав формулу, мы получим:

Коэффициентом корреляции называется отношение ковариации случайных величин Х и Y к произведению их средних квадратических отклонений:

Свойства коэффициента корреляции:

1) Коэффициент корреляции принимает значение на отрезке , то есть

2) Если случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, то есть .

Если , то случайные величины называютсянекоррелированными.

3. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен по модулю единице, то есть , то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.

Пример 1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, Y) задан в таблице:

	‒1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Найти:

а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y;

б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1;

в) вычислить P(Y<X);

г) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Решение:

а) Случайная величина X может принимать значения:

X = 1 с вероятностью

X = 2 с вероятностью , т.е. ее закон распределения:

X:

	1	2
	0,8	0,2

Аналогично закон распределения Y:

	‒1	0	1	2
	0,2	0,3	0,3	0,2

б) Условный закон распределения X при условии, что Y = 2, получим, если вероятности , стоящие в последнем столбце первоначальной таблицы, разделим на их сумму, т.е. на. Получим:

	1	2
	0,75	0,25

Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии X = 1 вероятности , стоящие в первой строке первоначальной таблицы, делим на их сумму, т.е. на. Получим:

	‒1	0	1	2
	0,125	0,3125	0,375	0,1875

в) Для нахождения вероятностей P(Y<X) складываем вероятности событий из первоначальной таблицы, для которых.

Получим:

P(Y<X) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5.

г) Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

Так как

Вычислим ковариациюпо формуле:

Вычислим коэффициент корреляциипо формуле:

т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).

Закон больших чисел.

С вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что частота наступления события при большом числе опытовсколь угодно мало отличается от вероятности наступления этого события в отдельном опыте.

15. Основные понятия и определения математической статистики. Вариационный ряд. Варианты. Относительная частота варианты.

1. Математическая статистика ‒ это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, описания и обработки опытных данных, то есть результатов наблюдений, с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

2. Статистической совокупностью называется множество однородных объектов, объединенных по некоторому отличительному признаку.

3. Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, подлежащих изучению.

4. Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов, случайно выбранных из генеральной совокупности.

5. Объемом совокупности называется число ее объектов.

Обозначается:

N ‒ объем генеральной совокупности, n ‒ объем выборки.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть такой, по которой можно уверенно судить об интересующем признаке.

Пусть при изучении некоторого числового признака производились испытания (наблюдения). При этом получены следующие значения ‒

Расположив их в порядке возрастания, получим числовую последовательность, которая называется вариационным рядом, а сами значения признака ‒ вариантами

Среди этих значений могут оказаться одинаковые. Тогда вариационный ряд примет вид:

где частота

6. Относительной частотой варианты называется отношение ее частоты к объему выборки:

‒ относительная частота варианты.

Тогда

То есть