- •Министерство сельского хозяйства рф
- •Содержание
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Бином Ньютона и его свойства.
- •2.Понятие случайного события. Виды случайных событий.
- •3. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •4.Алгебра событий. Операции над случайными событиями.
- •Правило произведения событий.
- •5.Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.
- •6.Основные формулы теории вероятностей. Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.
- •Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов).
- •Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная).
- •Интегральная формула Лапласа.
- •Формула Пуассона.
- •7. Понятие случайной величины и ее числовые характеристики.
- •Основные числовые характеристики случайных величин.
- •5. Моменты случайных величин
- •8. Основные законы распределения дискретных случайных величин.
- •1. Биномиальный закон распределения (биномиальное распределение) дискретных случайных величин.
- •2. Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин.
- •3. Распределение Пуассона дискретных случайных величин.
- •9. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. Плотность вероятности. Вероятность попадания в заданный интервал.
- •10. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •11. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
- •1.Нормальный закон распределения.
- •2.Показательный (экспоненциальный закон распределения).
- •3.Равномерный закон распределения.
- •12. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.
- •13. Многомерные случайные величины (случайные векторы). Закон распределения многомерных случайных величин.
- •Функция распределения, плотность вероятности. Вероятность попадания в заданную область и числовые характеристики случайных векторов.
- •14. Условные законы распределения. Условные числовые характеристики двумерных случайных величин. Регрессия.
- •Ковариация и коэффициент корреляции.
- •Закон больших чисел.
- •15. Основные понятия и определения математической статистики. Вариационный ряд. Варианты. Относительная частота варианты.
- •16. Статистическое и эмпирическое распределение выборки. Полигон и гистограмма частот.
- •17. Генеральная средняя и выборочная средняя.
- •18. Точечные и интервальные оценки. Доверительная вероятность, доверительные интервалы.
- •Методические указания по выполнению контрольных работ и выбору варианта
- •Приложение 1
5.Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теоремы сложения вероятностей.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
P (А+В) = P (А) +P (В)
Доказательство:
Пусть n ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие A или B; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.
Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k) – элементарных событий.
Получим
Следствие1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Доказательство:
Следствие 2. Сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу, равна единице.
Распространим теорему 1 на любое число попарно несовместных событий.
Получим:
Теорема 2.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного осуществления.
Доказательство:
Пусть n ‒ общее число элементарных событий; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В.
Пусть среди (m+k) ‒ элементарных событий имеется l ‒ событий, благоприятствующих событиям A и B одновременно.
Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k‒ l) элементарных событий.
Следовательно, получим:
Пример 1.
Из колоды в 36 карт, наудачу достается одна.
Найти вероятность того, что вынутая карта или туз, или пиковой масти.
Решение.
Событие A ‒ вынутая карта туз.
Событие B ‒ вынутая карта пиковой масти.
A+B ‒ вынутая карта или туз, или пиковой масти, или пиковый туз.
События A и B совместные, следовательно, по теореме 2 получим:
Теоремы умножения вероятностей.
События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.
Теорема 3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
Доказательство:
Пусть ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событиеА;
‒общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие B;
‒число элементарных событий, благоприятствующих событию А;
‒число элементарных событий, благоприятствующих событию В.
Тогда событию будет благоприятствовать– элементарных событий.
Получим:
Распространим эту теорему на любое число независимых событий.
Пример 2.
Два студента сдают экзамен. Вероятность сдачи экзамена первым студентом . Вероятность сдачи экзамена вторым студентом. Найти вероятность того, что:
сдадут экзамен оба студента;
сдаст экзамен только один студент;
экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов.
Решение:
1) сдадут экзамен оба студента.
2) C ‒ сдаст экзамен только один студент.
3) D ‒ экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов.
Второй способ решения:
экзамен не сдадут оба студента.
Пример 3.
Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9.
Найти вероятность того, что:
1. В цель попадет только один стрелок (событие А).
2. В цель попадет только два стрелка (событие B).
3. В цель попадет хотя бы один стрелок (событие С).
Решение:
попадание в цель i‒ стрелком. i = 1, 2, 3.
3. Первый способ.
Второй способ.
не попадет ни один стрелок.