16. Статистическое и эмпирическое распределение выборки. Полигон и гистограмма частот.

Статистическим распределением выборки называется соответствие между вариантами, то есть числовыми значениями признака, и их частотами или относительными частотами:

			…
			…

Статистическое распределение бывает дискретным, то есть значения признака изолированы друг от друга, или непрерывным (интервальным) с непрерывно варьирующимся признаком.

Составление дискретного статистического распределения начинается с определения наименьшего и наибольшего значения, все остальные значения располагаются между ними в порядке возрастания.

Для непрерывно ‒ варьирующегося признака интервал его изменения разбивают на частичные интервалы одинаковой длины.

Для непрерывного распределения введем эмпирическую функцию распределения.

Эмпирической функцией распределенияили функцией распределения выборки называется функция, определяющая для каждого значениях относительную частоту события Х <х, то есть

где число вариант, при которых наблюдаемое значение признака меньшех.

Наглядное представление о статистическом распределении дает график.

Для дискретного распределения по оси OX откладывают варианты, а по оси OY их частоты . Полученные точки соединяют ломаной, которая вместе с осьюОХ образует полигон распределения частот.

Для непрерывного признака по оси OX откладывают частичные интервалы и строят на них прямоугольники с высотой . Полученная ступенчатая фигура называетсягистограммой.

Если обвести гистограмму плавной линией, так чтобы примерно были равны площади, ограниченные ступенчатой ломаной и кривой, то получим график эмпирической функции распределения .

Пример 1. Дискретное статистическое распределение.

В результате обследования свиноматок по количеству поросят в одном помете составлено распределение:

	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3	4	6	11	15	14	8	7	2

Найти относительную частоту каждого значения признака и построить полигон распределения частот.

Решение:

Найдем функцию распределения числа родившихся поросят:

Полученные данные поместим в таблицу:

	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3	4	6	11	15	14	8	7	2
	0

Пример 2. Непрерывное статистическое распределение.

При измерении длины 50 колосьев ячменя получены данные:

Длина колоса, см.	6…8	8…10	10…12	12…14	14…16	16…18
	6	12	17	10	4	1

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения выборки.

Решение:

Построим гистограмму:

Построим эмпирическую функцию распределения выборки:

17. Генеральная средняя и выборочная средняя.

Пусть требуется изучить дискретную генеральную совокупность относительно количественного признака, генеральной средней.

Генеральная средняя ‒ среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:

1. Если значения признака различны, то

или

2. Если значения признака имеют частоты

или

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

1. Если значения признака различны, то

или

2. Если значения признака имеют частоты

или

Если числовой признак X считать случайной величиной X, то генеральная средняя ‒ генеральное математическое ожидание, а выборочная средняя ‒ выборочное математическое ожидание: ,.

Генеральная выборочная и исправленная дисперсия.

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признакаот их генеральной средней:

1. Если значения признака различны, то

2. Если значения признака имеют частоты, то

или

Выборочная дисперсия ‒ среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их выборочной средней.

1. Если значения признака различны, то

2. Если значения признака имеют частоты, то

Пример.

	2	4	5	6
	8	9	10	3

Найти: .

Решение:

Для вычисления дисперсии используют еще одну формулу.

Дисперсия (любая) равна разности среднего арифметического квадратов значений признака и квадрата общей средней:

Пример.

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Решение:

	1	4	9	16
	20	15	10	5

Выборочная дисперсия при выборках малого объема имеет систематическую ошибку, чтобы ее избежать дисперсию умножают на число .

Полученная дисперсия называется исправленной дисперсией и обозначается

Итак,

Следовательно,

Тогда

исправленное среднее квадратическое отклонение.

При