metodichka_chm_chast_1

ур а вне ни й................................................................

............

1.1. Об щ а я фо р мули р о вка ме то до в ти па Рунге -Кутта .................................

3

1.2. М

е то д пе р во го по р ядка то ч но сти (о дно ч ле нна я фо р мула , q=1) ..........

5

1.3. М

е то дывто р о го

по р ядка то ч но сти (двуч ле нные

фо р мулы, q=2) ........

6

1.4. М

е то дытр е тье го

по р ядка то ч но сти (тр е хч ле нные фо р мулы, q=3) .....

9

1.5.

М е то ды ч е тве р то го

по р ядка то ч но сти (ч е тыр е хч ле нные

фо р мулы,

q=4) .........................................................................................................................

10

1.6. М

е то дыпо р ядка выше

ч е тве р то го .......................................................

11

1.7.

Ре ше ни е

си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

ме то да ми типа Рунге -Кутта ..................................................................................

11

2. Двухсто р о нни е явные ме то дыРунге -Кутта ................................................

2.1. Двуч ле нные

двухсто р о нни е

ме то дыРунге -Кутта ..............................

14

2.2. Тр е хч ле нные двухсто р о нни е

ме то дыРунге -Кутта .............................

16

2.3. Ор га ни за ци я сч е та в двухсто р о нни х ме то да х ти па Рунге -Кутта .......

18

3. По выше ни е

то ч но сти экстр а по ляцио нным ме то до м Ри ч а р дсо на

.......................

19

3.1. По выше ни е

то ч но сти в ме то де Э йле р а ................................................

20

3.2. По стр о е ни е

не пр е р ывно го пр и б ли же нно го р е ше ни я.........................

22

4. Пр а кти ч е ски е спо со б ыо це нки по гр е шно сти явных о дно ша го вых ме то до в

р е ше ни я за да ч и Ко ши ................................................................

...

4.1. Оце нка гло б а льно й по гр е шно сти по

пр а вилу Рунге ...........................

27

4.2. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти по

пр а вилу Рунге ............................

31

4.3.

Оце нка

ло ка льно й по гр е шно сти

на о сно ве

ко мб и на ци и

ме то до в

р а зно го по р ядка то ч но сти .....................................................................................

32

4.4. В ло ж е нные

ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти .........................

35

4.5. М

е р а по гр е шно сти пр иб ли ж е нно го

р е ше ния......................................

38

5. Авто ма ти ч е ски й выб о р ша га инте гр ир о ва ни я за да ч и Ко ши ...............................

41

5.1. М

е то д удво е ни я и де ле ния ша га по по ла м...........................................

42

5.2. М

е то д выб о р а ма кси ма льно й для за да нно й то ч но сти дли ныша га ... 45

6. И нди видуа льные за да ни я по ч и сле нным ме то да м р е ше ния за да ч и Ко ши

......... 46

6.1. О де мо нстр а ци и р а б о тыпр о гр а мм ......................................................

46

6.2. Об о шиб ка х, до пущ е нных пр и за да нии вхо дных па р а ме тр о в ...........

50

3

В связи

с си сте ма ти ч е ски м со кр а щ е ни е м ч и сла

ле кци о нных ч а со в по

кур су

“Ч и сле нные

ме то ды” , по лным

и сч е зно ве ни е м

и з

уч е б ных пла но в

пр а кти ч е ски х

за няти й

по

это му пр е дме ту

и усто йч и вым сущ е ство ва ни е м

пр а кти ки

на

Э В М ,

по дде р жи ва ю щ е й

ле кци о нный

кур с

“Ч и сле нные ме то ды” ,

во зни кла

о стр а я

не о б хо ди мо сть в

но во й

уч е б но -ме то ди ч е ско й

ли те р а тур е ,

ко то р а я:

1.

со де р жи ткр а тко е

ко нспе кти вно е

и зло же ни е

ле кци о нно го ма те р и а ла ;

2.

вклю ч а е т

те о р е ти ч е ски е

ма те р и а лы,

пе р е да ва е мые

студе нта м

са мо сто яте льно го

и зуч е ни я;

3.

да е то пи са ни е

о сно вных выч и сли те льных а лго р и тмо в и р е ко ме нда ци и к

и х пр а кти ч е ско му и спо льзо ва ни ю ;

4.

вклю ч а е тв се б я по др о б но е и нди ви дуа льно е

за да ни е

на Э В М

;

5.

уч и тгр а мо тно

со ста ви тьте сто вые и де мо нстр а ци о нные пр и ме р ы.

Н

а сто ящ е е

по со б и е “Ч и сле нно е

р е ше ни е за да ч и Ко ши

для о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге

- Кутта ” являе тся пе р вым и з

се р и и

ме то ди ч е ски х р а зр а б о то к ука за нно го

ти па .

Оно

на пи са но на

о сно ве

б о льшо го

о пыта

ве де ни я

ле кци о нных, пр а кти ч е ски х и

ла б о р а то р ных за няти й,

на ко пле нно го на

ка фе др е

В ыч и сли те льно й ма те ма ти ки . По со б и е

со сто и ти з двух

ч а сте й. В

пе р во й ч а сти на хо дятся ма те р и а лы,

пе р е ч и сле нные

в п. п. 1

- 5, во

вто р о й

- и нди ви дуа льные

за да ни я на Э В М . И нди ви дуа льные за да ни я со ста вле ны

1. Я вны ем ет оды

т и п а

Рунге-К ут т а

реш ени я

о б ы к но венны х

ди фференци а льны х ура внени й

1.1. Об щ а я фо рм ули ро вк а

м ет о до в т и п а

Рунге-К ут т а

Пусть на

о тр е зке

0 0 + Xx]

трx [е б,уе тся на йти ч и сле нно е

р е ше ни е за да ч и

Ко ши

ì ′=

y x f

)1(

í

)2(

î 0 =y0 y x

4

на се тке

узло в

...

N

x0 +Xx.<

<x20 <x1 <

(3)

М

е то ды ти па Рунге -Кутта

являю тся явными

о дно ша го выми

ме то да ми , т.е .

та ки ми ,

ко то р ые

по сле до ва те льно

в

ка ждо м

узле

xi

се тки

(3) о пр е де ляю т

пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е

yi

на

о сно ве

и зве стно го

зна ч е ни я

пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я

y i −1

в

пр е дыдущ е м

узле

xi−1 .

Осно вна я

и де я

ме то да

б ыла

пр е дло же на

К.

Рунге

в 1895г., а

за те м

р а зви та

В . Кутта

в

1901г. Со гла сно

пр е дло же ни ю

Рунге ,

пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е

y1

в узле

1 = 0 +xh и щxе тся в

ви де ли не йно й ко мб и на ци и с по сто янными ко эффи ци е нта ми

=

+

+

2 2

+ +

1 11q

(h)

k p ...

h) (k p (h) k py

y

qq0,

q

q

(4)

где

= 1

(

y0),x0 hf,

k (h)

(

α

+=β

1

h+),k) (

y h , x hf k (h)

21

2 0

2

0

...

(

+β+ α

h ).+)=βk(

+

(5)

q

h...k

) (y h

x, h

−

q−1 q q1 ,

0 q1 1

0 q

Ко эффи ци е нты

α , β , pqi

i

о прij е де ляю тся

и з

тр е б о ва ни я,

ч то б ы

по гр е шно сть р а ве нства

(4)

на

то ч но м р е ше ни и

за да ч и

(1),(2)

и ме ла во змо ж но

высо ки й по р ядо к ма ло сти пр и пр о и зво льно м ша ге

h для лю б ых ур а вне ни й ви да

(1).

За пи ше м то ч но е

р е ше ни е

y(x1) в узле

x0 +h по фо р муле

Те йло р а

′

h2

′′

hs

(s)

hs+1

s+( )1

(

)=

y

+

+ +y

+ yh+ y yy x...

s

(ξ)

10

20

0

0

s+!)! 1

(

,

(6)

где

k

k)

(

( )

ξ <x<

x y x y

0

=),

0

1.

0

5

По гр е шно сть ме то да

на

ша ге ,

и ли

ло ка льна я

по гр е шно сть ме то да ,

е сть

ве ли ч и на

ϕ

q

q

0

0

− = − +h) k( p

y h)h x y( ( )

(7)

å

i

qi .

i=1

Ее р а зло же ни е

по

сте пе ням h до лжно

на ч и на ться с ма кси ма льно

во змо жно й

сте пе ни :

ϕq (h) =

hs+1

ϕqs+

+o hs+1)

.

(

()0()1

(8)

s +()! 1

Если

ко эффи ци е нты α ,β , pqi

iо прijе де ле ны та к,

ч то

по гр е шно сть и ме е т

ви д (8), то

го во р ят, ч то

фо р мула (4) ме то да

Рунге -Кутта

и ме е тпо р ядо к то ч но сти

s ,

пр и

это м

пе р во е

сла га е мо е в (8)

на зыва ю т гла вным ч ле но м ло ка льно й

по гр е шно сти ме то да на ша ге .

И зве стно ,

ч то е сли

q =

4, 3,12,

мо жно по до б р а тьта ки е

ко эффи ци е нты

,

то

α ,β , pqi ,i

ч тоij

по луч и тся ме то д Рунге -Кутта

по р ядка

то ч но сти

q.

Для

q =5

не во змо жно

по стр о и ть

ме то д ти па

Рунге -Кутта

пято го

по р ядка

то ч но сти .

По др о б но е

о пи са ни е

ко эффи ци е нто в для

q =

4, 3,12,

на йти

в кни ге [1].

мо жно

Н и ж е

мы по др о б но

о пи сыва е м по луч е ни е двуч ле нных ме то до в

Рунге -Кутта

q(= )2

а

для

ме то до в с

б о льши м

ко ли ч е ство м

ч ле но в о гр а ни ч и ва е мся

,

пр и ве де ни е м не ко то р ых р а сч е тных фо р мул.

1.2. М ет о д п ерво го п о рядк а

т о чно ст и

(о дно членна я фо рм ула , q=1)

Еди нстве нно

во змо ж ный о дно ч ле нный ме то д Рунге -Кутта пе р во го по р ядка

то ч но сти и зве сте н ка к ме то д Э йле р а

=

+

(

, y

)x

hf y

0

y

(9)

0

,

0

1

для ко то р о го

р а зло же ни е

(8) и ме е тви д

ϕ (h) =

h2

{

′ +

′}x=x0

+ (h2o)

.

f ff

(10)

1

2

x

y

y=y0

= +

+

2

h)

k( p (h) k py

0

y

(11)

22,

1

211

где

= 1

(

y0 ),x0 hf,

k (h)

(

α

+=β

1

h+).k) (

y

2

h , x hf k (h)

21

2 0

0

В

фо р мула х

(11)

пр и сутствую т

ч е тыр е

не и зве стных

па р а ме тр а

α β p21,2p22,.21Для

и х

о пр е де ле ни я

по стр о и м

вспо мо га те льную функци ю ,

являю щ ую ся по гр е шно стью

на ша ге

ко нстр уи р уе мо го ме то да Рунге -Кутта .

ϕ

=

+ − −

(

)−

(

+α

+ β (

y ))x.

hf,

21

y h

0

0(12)

0

По тр е б уе м,

ч то б ы

в

р а зло же ни и

по

сте пе ням

h

функци и

ϕ2 (h)

ма кси ма льно е ч и сло

ч ле но в о б р а ти ло сь в нуль. Пе р вые

две

пр о и зво дные

по

пе р е ме нно й h

′

′

+ − (

)− (

+α +β ( ,y ))x− hf

,

y h

x f p,

ϕ =

21

2

0

0

0

0

22

−

(

′

(

) + +

′

(

+β

αy x), hf, )

y

x

+ +

y

0

0

21

0

′′

′′

+ −

(α

′

+α

+ β

( , y ))x+ hf

,

y h

ϕ =

x

(

21

2

+

(

)

′

+β

( , , yα )x)

hf

,

0

0

x

(f

0

+ β

21

y h

2

yf x

d

y

0

0

0

0

0

0

− p h

′

,

αβ

( ,αy )x+ hf +

y h+

2

(f x (

2

(dx

x

0

0

21

0

0

+

)

′

+β

+ β

( , , yα )x)

hf

21

,

y h

2

x

(f yf x

y

0

0

0

0

0

0

пр и h = 0 пр и ни ма ю тзна ч е ни я

′

=( −

−

)

( ,y )xpf

p

1

)0(

ϕ

(13)

0

, 0 2

22

21

ϕ

{(

α

)

x

(

β

22 )

ff21y }y== y0

.2

22

2

(14)

′′

=

-

′ +

-

2

1

′

x xp0

2 1 (0p)

f

Для

то го ,

ч то б ы

эти

две

пе р вые

пр о и зво дные

о б р а ти ли сь в

нуль,

не о б хо ди мо , ч то б ыне и зве стные

па р а ме тр ыудо вле тво р яли си сте ме

ур а вне ни й

ì1

p

p22

=- 0

21-

ï

-

α2 p22

= 0

1

2

(15)

í

ï

-

β

p

22

=

. 0

1

2

î

21

Тр е тью

пр о и зво дную

(

)

+ ( - 3β211

22 )

+ (

22β+3 α121)2fϕy2}xff=yx0

f x(16)3 αf1yy22f(0) p

2

= {(

-

2

)

+

-

¢¢¢

2

¢¢

¢¢

2

2

¢¢

¢

¢ ¢

y= y0

за сч е т выб о р а

па р а ме тр о в

α

β

p , p22 ,

о б21р2а ти21ть в

нуль для

пр о и зво льно й

функци и

fy)(x,не льзя.

Сле до ва те льно ,

ма кси ма льно е

ко ли ч е ство

ч ле но в в

р а зло же ни и

по гр е шно сти

ϕ2 (h)

по

сте пе ням h ,

о б р а щ а ю щ и хся

в нуль,

р а вно

двум:

ϕq (h) =

h3

ϕ2¢¢¢

+ o h3 ) . (

(0)

(17)

6

Си сте ма

ур а вне ни й

(15) и ме е то дно па р а ме тр и ч е ско е се ме йство

р е ше ни й.

Если в ка ч е стве

па р а ме тр а выб р а тьα2 , то

1

1

β

α ,

p22

,

p2121

1-

= =,

=

(18)

2

2α2

2α2

пр и ч е м α2

¹ 0 . За ме ти м, ч то па р а ме тр α2 не

мо же тб ытьр а вным нулю , по ско льку

в это м случ а е

те р яе тсмыслвто р о е

ур а вне ни е си сте мы(15).

Та ки м

о б р а зо м,

мы

по ка за ли ,

ч то

фо р мулы

(11)

о б р а зую т

о дно па р а ме тр и ч е ско е

се ме йство

фо р мул

ти па

Рунге -Кутта

вто р о го

по р ядка

то ч но сти

æ

1

ö

æ

1

ö

(19)

ç

÷

(

) +

ç

÷

h k

y

y

1

0

+

ç1=-

÷ 1

ç

÷ 2 (h) ,k

è

2α2 ø

è 2α2

ø

где

= 1

(

y0 ),x0 hf,

k h( )

(

α

+=α 1 h2 +),k2 )0 (

2y h 0 , x hf k (h )

8

За ме ч а ни е

1.

Для на ч а льных за да ч Ко ши е сте стве нным являе тся пр е дпо ло же ни е ,

ч то

р е ше ни е

в то ч ке

(x0 + h)

за ви си т о т по ве де ни я пр а во й ч а сти

ур а вне ни я (1) на

о тр е зке

0 0

+ h]x. xПо[

,это му

в

фо р мула х

(19)

о б ыч но

по ла га ю т, ч то

α2

]1,.(0

За ме ч а ни е

2.

Н

е льзя выб р а ть на и луч ше е

зна ч е ни е па р а ме тр а

α2

с то ч ки зр е ни я

ма ло сти а б со лю тно й ве ли ч и ны гла вно го

ч ле на

по гр е шно сти

(17).

Для о дни х ур а вне ни й это б уде то дно зна ч е ни е , для др уги х – др уго е

[2].

Ра ссмо тр и м не ско лько на и б о ле е ч а сто и спо льзуе мых пр и ме р о в двуч ле нные

фо р мулме то да Рунге -Кутта вто р о го

по р ядка .

1. Пустьα2

= 1. То гда

1 (

+ K=2 ), K+1y

1 y 0

(20)

2

= (

)

= (

+ ,

+ K1 ).y ,0h , x 0 hf

21K 0y K0x hf

По гр е шно стьна ша ге

ме то да (20), ка к сле дуе ти з (16),(17),(18), и ме е тви д