Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichka_chm_chast_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2016

Размер:

331.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

	l	l			l


n			n	n
	l	l			l



n			n		n

(

n )

ç1

=- =

(@ M),-

,...l , , 2, 1

)

- M .

-,...l=, @2, 1 - , y1

n ) (

4.2. Оценк а

ло к а льно й п о греш но ст и п о п ра ви лу Рунге

М е то д

Рунге

пр а кти ч е ско й

о це нки

ло ка льно й

по гр е шно сти

являе тся

на и б о ле е

р а спр о стр а не нным, хо тя и

не

са мым

эффе кти вным ме то до м.

Он

за клю ч а е тся в то м,

ч то по

о дно й и

то й же выб р а нно й выч и сли те льно й фо р муле

сч и та ю тся два

пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в о дно й

то ч ке ,

но с р а зными

ша га ми .

Ср а вне ни е

эти х

двух

пр и б ли ж е нных

зна ч е ни й

по зво ляе т

по луч и ть

а по сте р и о р ную

о це нку по гр е шно сти .

Об о зна ч и м ч е р е з y1

р е ше ни е , по луч е нно е

по выб р а нно й р а сч е тно й фо р муле

ти па (4),(5) в то ч ке

= x0

+ h . Г ла вный ч ле н ло ка льно й по гр е шно сти о б о зна ч и м

ч е р е з ψ x0

y0 )(hs+,1 , по дч е р кнув те м са мым, ч то

р е ше ни е по луч е но

и з то ч ки

x0 :

=+ψ -

0 )0h0s+,1y. (x (1

y )

h y x

(98)

р е ше ни е ,

по луч е нно е

по

пр а ви лу (4,5) в то ч ке

+ h

Об о зна ч и м ч е р е з y

гла вный ч ле н по гр е шно сти ко то р о го

р а ве н

h ö

ψ y

æ h ös+1

(99)

yç x

÷ 0

y0 )(çx0

,÷ .

- ˆ =

è 2 ø

И з то ч ки

x0 +

выч и сли м пр и б ли ж е ни е

к р е ше ни ю

в то ч ке

x0 + h

по гр е шно стью

ˆ(

, yˆ

öæ h

ös+1

)

ç x

÷ç=+ h÷ y-,x

(100)

где

y(x) – то ч но е

è0 0

1øè 2

усло ви ю

р е ше ни е

ур а вне ни я (1), удо вле тво р яю щ е е

ˆ æ

yç x

y .

2 ø

Если в ка ч е стве пр и б ли же ни я к р е ше ни ю

в то ч ке

пр и нять

1 ,

то со гла сно

пр а ви лу Рунге [6] гла вна я ч а сть по гр е шно сти

ме то да

на

двух по сле до ва те льных

ша га х h

р а вна

y1 0

y1s - y)11.

h2(y-)x

( (-

)

(101)

В ыч и сле нно е

пр и б ли же нно е зна ч е ни е

мо жно

уто ч ни ть, пр и б а ви в к не му

ве ли ч и ну гла вно го

ч ле на по гр е шно сти , то е стьпо ло ж и в

y1s - y1)11.

y2(1 -y) x @+

( =

(

)

(102)

То гда

O) . y ( y x ( )

(103)

- 1 =

s+2

В да нно м

спо со б е

о це нки

по гр е шно сти

фо р мула

Рунге -Кутта (4,5)

пр и ме няе тся тр и

р а за

тр е б уе тся

3q −1

выч и сле ни й

пр а во й ч а сти

fy)(x,

ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я (1),

по это му

пр и

сло жных

и тр удо е мки х

для

выч и сле ни я пр а вых ч а стях это тспо со б вле ч е тб о льши е

выч и сли те льные за тр а ты.

4.3. Оценк а

ло к а льно й п о греш но ст и

на

о сно век о м б и на ци и м ет о до в

ра зно го п о рядк а т о чно ст и

Э то т ме то д,

та к

ж е

ка к и ме то д

о це нки по гр е шно сти

Рунге ,

о сно ва н

на

ср а вне ни и

двух пр и б ли ж е нных зна ч е ни й р е ше ни я в о дно й

то ч ке ,

то лько

эти

зна ч е ни я выч и сляю тся по

фо р мула м ти па

(4),(5)

р а зных по р ядко в то ч но сти с

о дни м и те м ж е ша го м.

Пустьвыб р а ныдва ме то да ти па Рунге -Кутта р а зных по р ядко в. Оди н ме то д

по р ядка

p :

+ å i ki p, y

(104)

i=1

где

(

)

α ,

i−1

, ,

=y h

x hf

k y kx hf

+ = β

k +,÷

0 i

0 j ÷iij

j=1

др уго й – по р ядка

s :

(105)

+ å ~i ki p, y

i=1

где

~ (

Пусть

име е тви д

ρ1

i−1

=y h

x hf

k y kx hf

0 j ÷iij

0 i

j=1

фо р мулы (105)

³ r .p Тоr sгда

о це нка ло ка льно й по гр е шно сти

1 =+

p+1

(h- yO)

и ли , о ста вляя то лько

ч ле ныгла вно го по р ядка ,

@ y1 - ys1s .

(106)

По луч е нна я о це нка по гр е шно сти

(106) тр е б уе т r + r -1 выч и сле ни й пр а во й

ч а сти ур а вне ни я (1).

Если ко эффи ци е нтыв фо р мула х (104) и (105) та ко вы, ч то

,2, 1

(107)

βij

=iα=β iij α,...i,=r,

то i =

дляk i

лоk

ка льно й по гр е шно сти

(13?)

по луч а е тся выр а же ни е

,..., r, ,2,и1

ви да

(108)

@= å-i ki q.

i=1

где

−

i ,

+1,..., r

rii

i p

,..., , , 2, 1 =

= i

В е ли ч и на

å i

(109)

i=1

на зыва е тся

ко нтр о льным

ч ле но м.

И спо льзо ва ни е

ко нтр о льных

ч ле но в

для

ко мб и на ци й

спе ци а льно

по до б р а нных

фо р мул

по зво ляе т

уме ньши ть

по

ср а вне ни ю

пр а ви ло м Рунге

(102) и

о це нко й

(106) ко ли ч е ство

выч и сле ни й

пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1).

Пр и ме р 1. Ко мб и на ци я не за ви си мых фо р мул.

Для ме то да тр е тье го

по р ядка

s (=

, 3r

= 3)

(

+ 3=K3 ),+K 1y 1

y 0

(110)

(

÷,

ç=

÷ ,+y h0

0 hf

фо р мула ко то р о го

пр и на дле ж и т

двухпа р а ме тр и ч е ско му се ме йству (27) и

со о тве тствуе т зна ч е ни е м

α2

, α3

, о ста то ч ный

ч ле н

о це ни м с по мо щ ью

ме то да тр е х во сьмых (33) ч е тве р то го

по р ядка

p =

r = ) 4(

, 4

1 (

+ K4 ),+K

+K=2

K+1y 1

y 0

(111)

( ,

K1 ÷, +y 0h

= x 0

21K 0y K0x hf

+ K31 )-. K2=+ K y+ h0 x 0hf

4K 2K

÷,-=

За ме ч а ни е . Если о це ни ва ть по гр е шно сть ме то да (110)		по пр а ви лу Рунге ,	то
тр е б уе тся 8 о б р а щ е ни й к	пр а во й ч а сти	fy)(x,вме сто пяти	по
р а ссмо тр е нно му в пр и ме р е	1 ме то ду.
Пр и ме р 2. Ко мб и на ци я спе ци а льно	по до б р а нных фо р мул.
М е то ды(30)

1	(	4 + K3 ),+K2= K+1y 1 y 0
6

( ,	),	æ
( ,	),	ç x
		è
и (22)
= + yK21,	y	0

h	K		ö
hf , y0	=+K	1	÷y0 K+x hf 21(=
2	2		ø

( , ),	æ	h		K	ö
( , ),	ç x hf , y0		=+K 1		÷y0,K+x hf 21	=
	è	2		2	ø
удо вле тво р яю тусло ви ю	(107), пр и			это м =		=
(109) за пи сыва е тся в ви де

(112)

, + 2K=-), K +, y h K x hf

0 0 2 1 3 0 0

(113)

=, 3~r = 2,.p2r Ко3нтр, s о льный ч ле н

	1	(	2 =+ K1 3 ) -EK2 K
6		(	2 =+ K1 3 ) -EK2 K
6
и и ме е тпо р ядо к O(h3 ) .
Пр и ме р 3. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул.
Ста нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го						по р ядка (32)
1			(	2	2 + K4 ) +K 3 +K2= K+1y	1 y 0
6

(114)

(115)

( , ),

= ( + ,

						35
æ	h		K		ö	æ
ç x hf , y			=+K	1	÷y, K+x hf Kç=x
è	2	0	2		ø0	21è

+ K ), y h K x hf

3 4 0 0

	h			K	2	ö
	hf	, y	=+			÷, +
				2
0	2	0 3 0				ø0

ме то д

вто р о го

по р ядка

(22)

удо вле тво р яю т усло ви ю

(107),

пр и

это м

, 4r = 2,.p2rКо4нтр, s о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де

(

+ K4 )=+K 31

-EK2

(116)

и и ме е тпо р ядо к O(h3 ) .

За ме ч а ни е .

Если о це нку по гр е шно сти ме то да (22) пр о во ди тьпо пр а ви лу Рунге ,

то

по тр е б уе тся пять о б р а щ е ни й к

пр а во й

ч а сти

и схо дно го

ур а вне ни я. В

пр и ме р е

2 для та ко й

о це нки

до ста то ч но

тр е х

о б р а щ е ни й, в пр и ме р е

3 – двух о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти .

4.4. Вло женны ем ет о ды

о ценк и

ло к а льно й п о греш но ст и

В ло же нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти р е ше ни я за да ч и Ко ши –

это

ме то ды,

о сно ва нные

на

ко мб и на ци и пр и б ли ж е нных ме то до в по р ядка

p и

p +1.

Ка к и в пр е дыдущ е м пункте, два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я р е ше ни я в о дно й

то ч ке

по зво ляю тпо луч и ть по гр е шно сть и нте гр и р о ва ни я ме то да

по р ядка

p .

Н о

вло же нные

ме то ды – это

та ки е

ме то ды,

ко то р ых ме то д

p -о го

по р ядка

по луч а е тся

ка к

“по б о ч ный

пр о дукт”

ме то да

p(+ )1-о го

по р ядка .

Если

пр е дыдущ е м пункте

б р а ли сь два

са мо сто яте льных

ме то да

ти па

Рунге -Кутта

(4),(5), в ко то р ых ко эффи ци е нты α , β , pqi i о прij

е де ляли сь и з усло ви я ми ни мума

по гр е шно сти

на

ша ге , то во

вло же нно м ме то де

б е р е тся о ди н ме то д ти па Рунге -

Кутта по р ядка

p +1. Для это го ме то да выч и сляю тся не о б хо ди мые зна ч е ни я ki (h) и

с и х по мо щ ью

по дб и р а е тся но вый

пр и б ли ж е нный

ме то д по р ядка

p ,

ко то р ый,

е сте стве нно ,

уж е

не

ми ни ми зи р уе т по гр е шно сть на

ша ге и

в это м смысле

не

являе тся ме то до м Рунге -Кутта . Алге б р а

по луч е ни я

та ки х ме то до в до ста то ч но

гр о мо здка , о со б е нно

для ме то до в

по р ядка

p > 4 ,

о дна ко

за

1967-1969

го ды

						36
И нгле ндо м,	Си нта ни и		Ф е льб е р го м б ыло				по луч е но		мно же ство	та ки х ме то до в.
Н и ж е пр и ве де ныпр о сте йши е				пр и ме р ывло же нных ме то до в.
За ме ч а ни е .	И но гда в		ка ч е стве		“по б о ч но го пр о дукта ” б е р ут ме то д						по р ядка
	ме ньше ,		ч е м	p .	В	это м	случ а е		выч и сли те льные		фо р мулы
	зна ч и те льно упр о щ а ю тся (см. пр и ме р 1).
Пр и ме р 1.
Ста нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го								по р ядка (32)
	1 (	2	2	+ K4 ) +K 3		+K2=	K+1y 1	y 0		(117)
	6
по зво ляе то це ни тьме то д вто р о го					по р ядка

	1	(		2	2 − K4 ).+K3		+K2 =− K 1+ y 1 y 0
2		(		2	2 − K4 ).+K3		+K2 =− K 1+ y 1 y 0
2
Ко нтр о льный ч ле н за пи сыва е тся в ви де
2 (				3 − K=4 )−, K 1 E− K2 K
3
и ме е тпо р ядо к O(h3 )				и и зве сте н ка к ко нтр о льный ч ле н Его р о ва .
Пр и ме р 2.
М е то д Рунге -Кутта тр е тье го						по р ядка (30)
1 (				4 + K3 ) +K2= K+1y 1 y 0
6
по зво ляе то це ни тьме то д вто р о го						по р ядка (20)
	1	(	+ K=3 ). K+1y 1 y 0
2		(	+ K=3 ). K+1y 1 y 0
2
Ко нтр о льный ч ле н и ме е тпо р ядо к O(h3 )							и за пи сыва е тся в ви де
1 (			2 + K1 3 )E.−K2 =K−
3
Пр и ме р 3.
Пяти ч ле нна я				фо р мула		ме то да	Рунге -Кутта ч е тве р то го
пр е дло же нна я М			е р со но м,

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

по р ядка ,

1	(	4 + K5 ),+K4= K+1y 1 y 0	(123)
6

где

( ,	),
æ	h	, y
Kç x	hf	, y
è	2	4 0

						37
æ	h		K		ö	æ
ç x hf , y			=+K	1	÷y, K+x hf Kç=x
è	3	0	3		ø0	21è

K	1		3	ö		æ	, y		h
		-		=+÷,	+	ç
8
		0 8		ø		è		0

по зво ляе то це ни тьме то д тр е тье го по р ядка

hf , y

2=÷+,

3 0

1x0

hfKK3 3 +52K4

÷-, =+

(124)+

			1	(		+ 23K5 )+. 4K4 +	K=3	+K 1 y	1 y 0		(125)
		10		(		+ 23K5 )+. 4K4 +	K=3	+K 1 y	1 y 0		(125)
		10
Ко нтр о льный ч ле н по р ядка O(h4 ) в да нно м случ а е за пи сыва е тся в ви де
	1	(				82 - 9K=5 ).+K41 E -K3	K				(126)
30		(				82 - 9K=5 ).+K41 E -K3	K				(126)
30
Пр и ме р 4.
Ш е сти ч ле нна я фо р мула ме то да Рунге -Кутта									пято го	по р ядка ,	по стр о е нна я
И нгле ндо м,
			1		(	+125K6 )+,		K1625+	K=4	35+K 1 y141	y (127)0
		336			(	+125K6 )+,		K1625+	K=4	35+K 1 y141	y (127)0
		336

где

( ,	),	æ
( ,	),	ç x
		è
(		,
æ	h	1	(
Kç x	hf ,
Kç x	hf ,	625
è	5	625

hf , y

=+K

÷y, K+x hf Kç=x

hf , y

2=÷+,

ø0

21è

0 3 0

4 0 4

(128)K2 +

K 1 +

y h0

÷+,

+ 378K5+)ø÷

54K4+

K3 -546

-=K1251

да е то це нку для ме то да ч е тве р то го

по р ядка

(

4 + K4 ) +K 3=

K+1y 1

y 0

(129)

в ви де ко нтр о льно го ч ле на по р ядка

O(h5 )

(

+125K6 )+. K1625-

K1 4-E= 21 K3-

(130)224K

336

За ме ч а ни е .

е то ды, пр и ве де нные

в пр и ме р а х 1-4, по зво ляю туме ньши тьч и сло

о б р а щ е ни й

к пр а во й

ч а сти и схо дно го ур а вне ни я по

ср а вне ни ю

те м, ко то р о е

и ме е тме сто

пр и по льзо ва ни и пр а ви ло м Рунге :

пр и ме р 1 – ме то д вто р о го

по р ядка , ч е тыр е

о б р а щ е ни я вме сто пяти ;

пр и ме р 2 – ме то д вто р о го

по р ядка , тр и о б р а щ е ни я вме сто пяти ;

пр и ме р 3 – ме то д тр е тье го

по р ядка , пятьо б р а щ е ни й вме сто во сьми ;

пр и ме р 4

– ме то д ч е тве р то го

по р ядка ,

ше сть о б р а щ е ни й вме сто

о ди нна дца ти .

4.5. М ера п о греш но ст и

п ри б ли женно го реш ени я

В ыше

р а ссма тр и ва ли сь

пр а кти ч е ски е

спо со б ы

о це нки

гло б а льных

ло ка льных а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я, ко то р ые

ле ж а тв о сно ве мно ги х

а лго р и тмо в

по луч е ни я

пр и б ли ж е нных

р е ше ни й

на пе р е д

за да нно й

ве р хне й

гр а ни це й

по гр е шно сти .

Одна ко

б ыва ю т си туа ци и ,

ко гда за да ни е

а б со лю тных

по гр е шно сте й р е ше ни я не то лько

не р а зумно ,

но и пр и во ди тк пр и нци пи а льно й

не во змо жно сти

по луч е ни я

р е ше ни я на

да нно й

Э В М .

са мо м

де ле , пусть

до пусти ма я

а б со лю тна я по гр е шно сть

р а вна

10−k ,

ма кси ма льно е

зна ч е ни е

р е ше ни я

–

10− p . То гда

для

то го ,

ч то б ы тр е б уе ма я

то ч но сть б ыла

до сти гнута ,

ко ли ч е ство

и спо льзуе мых

пр и

выч и сле ни ях де сяти ч ных

зна ко в t

до лжно

удо вле тво р ятьне р а ве нству

+ pt . k

(131)

Оч е ви дно , ч то

зна ч е ни е

мо же тпр е взо йти

дли ну р а зр ядно й се тки Э В М

выч и сле ни я ста нутне во змо жны.

По до б ные

си туа ци и

не

во зни ка ю т,

ко гда

за да е тся

не

а б со лю тна я,

о тно си те льна я

по гр е шно сть

пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я.

Одна ко

пр и

за да нно й

о тно си те льно й

по гр е шно сти

на до

сле ди ть,

ч то б ы пр и б ли же нно е

р е ше ни е

не

о б р а щ а ло сь в нуль,

ве р не е ,

ч то б ы пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е не

по па да ло

в ма лую

о кр е стно стьнуля.

Б о ле е

ги б ки м

и нстр уме нто м,

ч е м

а б со лю тна я

о тно си те льна я

по гр е шно сти ,

являе тся ме р а

по гр е шно сти .

е р о й по гр е шно сти

пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я на зыва е тся ди скр е тна я функци я

(

) − y

y x

Vn =

q p ,

(132)

где q –

не ко то р о е

по ло жите льно е ч и сло ,

выб и р а е мо е

с уч е то м о со б е нно сте й

р е ша е мо й за да ч и ; p = 0 пр и

≤ q ; p = 1 пр и

> q .

Л е гко ви де ть, ч то пр и

£ q ме р а

по гр е шно сти Vn со впа да е тс а б со лю тно й

по гр е шно стью

пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я,

пр и

> q

– с

е е

взве ше нно й

о тно си те льно й по гр е шно стью .

За ме ч а ни е 1.

Н а пр а кти ке

и де я р а ссмо тр е ни я ме р ы по гр е шно сти

р е а ли зуе тся

сле дую щ и м о б р а зо м. Пусть ε

,ε О т н )

–( на) Аиб сб о льши е

до пусти мые

зна ч е ни я

а б со лю тно й

о тно си те льно й

по гр е шно сте й

со о тве тстве нно .

То гда

сч и та ю т,

ч то

ме р а

по гр е шно сти

удо вле тво р яе тза да нным тр е б о ва ни ям, е сли выпо лняе тся усло ви е

где

+ μ ,ε

(133)

если

£ q,

ì0,( А б с)

, если

ïε

(134)

ν = í

μ =

если

> q.

ïε (О т н ) , если

> q,

За ме ти м, ч то

е сли в не ко то р о й то ч ке

ве р но

р а ве нство

= 1,

то

о тно си те льна я и а б со лю тна я по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я

в это й то ч ке

со впа да ю т. По это му ч а сто за да ю то дно

зна ч е ни е

ε (0)

пр о ве р яю твыпо лне ни е

усло ви я (133), где

если

£ , 1

ì 0(,0)

ν = í

(0)

μ = íε

если,

£ , 1

(135)

если,

, 1

если

. 1

îε

За ме ч а ни е 2. O

пр и б ли же нно м р е ше ни и

на пе р е д

за да нным ч и сло м ве р ных

зна ко в.

Пусть тр е б уе тся по стр о и ть пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , и ме ю щ е е

ве р ных зна ко в

пр и за пи си

де сяти ч но й

си сте ме

сч и сле ни я.

Пр е дпо ло ж и м,

ч то

зна ч е ни е

и ме е т по р ядо к

p ,

то гда

о но

пр е дста ви мо

в ви де

p 1

m−1

−

a1 ¹ )−.0

a...×

(136)+ 10+

× ...y + =a × 10

Н а по мни м,

ч то

ци фр а

сч и та е тся

ве р но й, е сли

а б со лю тна я

по гр е шно сть не

пр е во схо ди т

110 p−k .

Если

мы хо ти м

и ме ть

ве р ных

зна ко в, то

не о б хо ди мо

по тр е б о ва ть,

ч то б ы а б со лю тна я

по гр е шно стьпр и б ли же нно го

р е ше ни я удо вле тво р яла не р а ве нству

( n ) − yn

≤y

10 p−m

(137)

Пр и это м о тно си те льна я по гр е шно стьне б уде тза ви се тьо тпо р ядка

p :

( n ) − yn

101−m

(138)

≤

И та к,

ч то б ы на йти

пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е с

ве р ными зна ка ми ,

нуж но

и ска ть зна ч е ни е

ша га

и нте гр и р о ва ни я и з усло ви я (138) и

пр и это м сле ди ть, ч то б ы yn

не о б р а ти ло сьв нуль

4.6. Сп о со б ы

о ценк и

п о греш но ст и

п ри б ли женно го реш ени я си ст ем

ура внени й.

Та к ж е

ка к и са ми ме то дыти па Рунге -Кутта , по луч е нные в 2.1 для

о дно го

ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я,

пр а кти ч е ски е

спо со б ы о це нки

и х

по гр е шно сти

ле гко

пе р е но сятся

на

случ а й

р е ше ни я

си сте м о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных

ур а вне ни й. Пусть ч и сле нно

р е ша е тся

си сте ма

ур а вне ни й

(501) ка ки м-ли б о

ме то до м ти па Рунге -Кутта (502).

Апо сте р и о р на я о це нка гло б а льно й по гр е шно сти по

пр а ви лу Рунге .

В ыпи ше м по ко мпо не нтно о це нки по гр е шно сти , а на ло ги ч ные (307),(308):

,...,M 2,−1

i ),− =2/ 1

1/(− )y

y (

,...,M−2, 1

−),= 1 2 /(− )y

y (

Зде сь ч е р та на д о б о зна ч е ни ями являе тся не

си мво ло м ве кто р а , а ста ви тся в зна к

то го , ч то р е ше ни е (и ли по гр е шно сть) по луч е но

с ша го м h.

а и б о ле е

ч а сто

сч и та ю т,

ч то

для

гло б а льно й

по гр е шно сти

р е ше ни я

до сти га е тся

не ко то р а я то ч но сть

ε ,

е сли

эта

то ч но сть до сти гнута

для

все х

ко мпо не нтр е ше ни я:

≤ ε

R M .

,...i ,

2, 1

y ( R)x y ( R)x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015404.83 Кб15Metodicheskie_ukazania_po_Istorii_dlya_Matfaka.pdf
#
21.05.2015364.75 Кб11metodichka.pdf
#
21.05.2015286.55 Кб5metodichka.pdf
#
21.05.2015283.22 Кб9Metodichka_-_Terver.pdf
#
20.05.2015257.54 Кб7metodichka_2011_3_kurs.doc
#
19.03.2016331.68 Кб7metodichka_chm_chast_1.pdf
#
21.05.20155.3 Mб8Metodichka_lab1ab_8a.pdf
#
21.05.2015592.18 Кб35Metodichka_lab2_4_7_10_11_1_1.pdf
#
14.07.2019303.62 Кб14Metodichka_MSA-nasha_moya_red.doc
#
20.05.2015338.9 Кб107Metodichka_po_analizu_udobreny_2002.rtf
#
21.05.2015218.08 Кб78Metodichka_po_diffuram_Kostrub_Belousova_Smag.pdf