metodichka_chm_chast_1

21

r

ïìåγ k = 1

ï

(64)

ík =1

r

ïïåγ kτ kj

j

r -=1

=,...,

1 0,

îk =1

ли не йных а лге б р а и ч е ски х

ур а вне ни й

о тно си те льно

не и зве стных

γ 1 ,γ 2 ,...,γ r .

По ско льку о пр е де ли те ль си сте мы(о пр е де ли те ль В а нде р мо нда )

о тли ч е н о тнуля,

и ме е тся е ди нстве нно е

р е ше ни е

γ 1 ,γ 2 ,...,γ r . С

эти ми

ве са ми

в

узла х се тки

ϖτ

со ста ви м ли не йную

ко мб и на ци ю

r

U H = åγ k uτ k .

(65)

k =1

По луч е нно е

р е ше ни е

U H

на зыва ю т о тко р р е кти р о ва нным

р е ше ни е м и ли

р е ше ни е м, экстр а по ли р о ва нным по

Ри ч а р дсо ну. По гр е шно стьр е ше ни я U H

и ме е т

по р ядо к τ r :

ϖτ

H

-

U= O τ ru) . (

max

(66)

Стр о го е

до ка за те льство

пр и ве де нно го

выше

утве р жде ни я

о по р ядке

то ч но сти U H

мо ж но

на йти в кни ге

[4].

За ме ч а ни е о б

о це нке по гр е шно сти .

Пустьо пр е де ле но

р е ше ни е

за да ч и Ко ши с по сто янным ша го м H на

се тке

ϖτ

экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на

по р ядка

r .

То

е сть выб р а ны

r

це лых

ч и се л 0 < N1

< ... < N r ,

по стр о е ны се тки

ϖτ k

k =

,...,,r , 2,и1ме то до м Э йле р а по луч е ныр е ше ни я

1 ,

2 ,...,uτru,τи зuτ

r

ко то р ых по стр о е на ли не йна я ко мб и на ци я U H

= åγ k uτ k (65), ко то р а я

k =1

являе тся ч и сле нным р е ше ни е м по р ядка

r . Для о це нки по гр е шно сти

р е ше ни я U H по ступи м сле дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м це ло е

ч и сло

Nr+1 ,

удо вле тво р яю щ е е

усло ви ю Nr

< Nr +1 ,

и

на

се тке

ϖτ r +1

пр о и нте гр и р уе м ме то до м Э йле р а е щ е р а з и схо дную

за да ч у Ко ши .

Да ле е

по

уж е

выч и сле нным

р е ше ни ям

и

вно вь по луч е нно му

р е ше ни ю

u

τ r 1

,

т.е .

и схо дя и з

на б о р а

р е ше ни й

r

τ r 1

u,

τ τ

1 τ

2

+

,u, +

,...u,

u

r +1

по стр о и м но вую

ли не йную

ко мб и на ци ю

H

= åγ

k uτ k

ти па

(65),

U

k =1

ко то р а я

б уде т

являться

уж е

р е ше ни е м

r(+ )1-о го по р ядка .

Оч е ви дно , ч то в узла х се тки

ϖτ

а б со лю тна я ве ли ч и на

р а зно сти

U H

и

H

е сть ве ли ч и на по р ядка

O(τ r )

и е е

зна ч е ни е

да е т гла вную

U

ч а стьпо гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я U H .

3.2. По ст ро ени енеп реры вно го п ри б ли женно го реш ени я

Отме ти м о дно

и з не удо б ств пр и ме не ни я экстр а по ли р о ва ни я по

Ри ч а р дсо ну.

Отко р р е кти р о ва нно е

р е ше ни е

о тыски ва е тся

в то ч ка х, являю щ и хся

о б щ и ми

узла ми

все х се то к, ко то р ых мо ж е то ка за ться ма ло . Кр о ме

то го , пр и б ли же нно е

р е ше ни е

мо же тпо тр е б о ва ться в то ч ка х, во о б щ е не являю щ и хся узла ми се то к. Для

та ки х то ч е к во змо жно

пр и ме не ни е и нте р по ляци и спла йна ми , мно го ч ле на ми и т.п.

Пр о сте йши й выхо д – пр и ме не ни е

и нте р по ляци о нных по ли но мо в Л а гр а нж а .

Пр о до лж и м пр и б ли же нно е

р е ше ни е

uτ k , о пр е де ле нно е

на

се тке

ϖτ k

, на

ве сь

о тр е зо к

]1,[сле0

дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м пр о и зво льный эле ме нта р ный о тр е зо к

t j t j+1 ] [се,тки

ϖτ k . Ре ше ни е uτ k

о пр е де ле но

ли шь на

ко нца х это го о тр е зка

в узла х

t j ,t j+1 . В ыб е р е м до по лни те льно

к ни м е щ е

r − 2 б ли ж а йши х узло в се тки

ϖτ k

и

на

о тр е зке

t j

t j+1 ] [ ,о пр е де ли м

не пр е р ывно е

пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е

uτk (t) ,

со впа да ю щ е е

с

и нте р по ляци о нным

по ли но мо м Л а гр а нж а ,

по стр о е нным

по

r

выб р а нным узла м. В

р е зульта те

и нте р по ляци и по

все м эле ме нта р ным о тр е зка м

мыпо луч и м не пр е р ывную функци ю ,

со впа да ю щ ую

с uτ k

в узла х се тки ϖτ k . Б уде м

о б о зна ч а ть

е е

uτ k

(t) . И спо льзуе м

по стр о е нные

и нте р по лянты

uτk

(t)

для

выч и сле ни я пр и б ли же нно го не пр е р ывно го

о тко р р е кти р о ва нно го

р е ше ни я U H (t) в

фо р ме

23

По гр е шно сть не пр е р ывно го

о тко р р е кти р о ва нно го

р е ше ни я U H (t) ,

та к

ж е

ка к и по гр е шно стьсе то ч но го

р е ше ни я U H , и ме е тпо р ядо к τ r :

] 1,[0

H

−

= O τ rt)U.u (

t

) (

) (

max

(68)

За ме ч а ни е

о ко эффи ци е нта хи нте р по ляци о нныхпо ли но мо в о тко р р е кти р о ва нно го

р е ше ни я.

Ка ждый

и з по стр о е нных и нте р по лянто в

uτ k (t) е сть не пр е р ывна я

функци я,

являю щ а яся

на

ка ждо м

и з

эле ме нта р ных о тр е зко в

со о тве тствую щ е й

се тки

ϖτ k

и нте р по ляци о нным

по ли но мо м

сте пе ни

r −1.

Отко р р е кти р о ва нно е

р е ше ни е

U H

- это

та кж е

не пр е р ывна я

функци я,

являю щ а яся

по ли но мо м сте пе ни

r −1

на

ка ждо м

и з

эле ме нта р ных о тр е зко в

са мо й

ме лко й се тки ϖτ r .

Н е тр удно

ви де ть,

ч то

ко эффи ци е нты

и нте р по ляци о нных

по ли но мо в

о тко р р е кти р о ва нно го

р е ше ни я

на

ка ждо м

и з

эле ме нта р ных

уч а стко в

се тки

ϖτ r

являю тся

ли не йными

ко мб и на ци ями

со о тве тствую щ и х

ко эффи ци е нто в

и нте р по ляци о нных по ли но мо в для uτ k

с те ми ж е

ко эффи ци е нта ми ,

ч то и ли не йна я ко мб и на ци я (67).

За ме ч а ни е

о б

и нте р по ляци о нных мно го ч ле на х Л а гр а нж а .

Если

C rf

x ]1,и0[ и зве( )стны зна ч е ни я f (x j ) в r

р а вно о тсто ящ и х

то ч ка х

j

1

(=− )1h+

о jтрx

е зкаx

]1,,[0то

для

и нте р по ляци о нно го

по ли но ма Л а гр а нж а

r

r

x − x j

r-1

= å xi )fÕ(L

x(

)

(69)

i=1

j¹i

xi

− x j

j=1

спр а ве дли во

со о тно ше ни е

1

(r )

x) ,( ( )

− r-1

) =(

( ) ξ ϖ r

f

x

L f x

2!

r

где

1

ξ

ϖ

Õ − x j )r.x

= (

x

) r(

],

1, 0[x x

x], [

,

ϖ r (x)

≤

hr

r −( )!.1

4

Сле до ва те льно ,

−

x)

hr

f

(r )

ξ )

.(

max

(70)

r

−1

≤( L f (x)

4r ξ

]

1,[0

За ме ч а ни е о р е ше ни и си сте мыур а вне ни й (64).

Если в си сте ме

ур а вне ни й (64) τ i

=

1

, то р е ше ни е мо ж но выпи са тьв

i

ви де

[4]

−

k

r r

k

γ k =

−( )1

k =

,...,,r . 2, 1

(71)

− kk)! r

!(

Если в си сте ме

ур а вне ни й (64) τ i =

1

, то р е ше ни е

мо жно выпи са ть

i2

в ви де [4]

−( )1− k 2r

r

k

,...,,r . 2, 1

(72)

γ k =

2

k =

+

− k)! rr(

k( )!

4. Пра к т и ческ и е сп о со б ы

о ценк и

п о греш но ст и

явны х

о дно ш а го вы х м ет одо в реш ени я за да чи К о ш и

Пр и ч и сле нно м р е ше ни и за да ч и

Ко ши

(1),(2) по гр е шно сть

(о ши б ка )

(за да ни е

на ч а льно го

зна ч е ни я

y0 с не ко то р о й о ши б ко й),

по гр е шно сть ме то да

р е ше ни я

(по гр е шно сть ди скр е ти за ци и ) и по гр е шно сть о кр угле ни й. Да ле е

мы

б уде м по ла га ть, ч то зна ч е ни я y0

в (2) за да ныве р но .

По гр е шно сть ме то да – это сво йство и спо льзуе мо го

ме то да .

Если

б ы все

а р и фме ти ч е ски е выч и сле ни я

выпо лняли сь

то ч но ,

то

по лна я,

и ли

о б щ а я,

по гр е шно сть б ыла

б ы р а вна

по гр е шно сти

ме то да ,

т.е .

по гр е шно сть ме то да

являе тся не устр а ни мо й по гр е шно стью .

В а жно по ни ма ть, ч то по гр е шно сть ме то да мо жно

о це ни ва ть дво яко

–

ло ка льно

и гло б а льно . Л о ка льна я по гр е шно сть– это о ши б ка , сде ла нна я на да нно м

25

ша ге пр и усло ви и ,

ч то пр е дыдущ и е зна ч е ни я р е ше ни я то ч ны и не т о ши б ки

о кр угле ни я. По ясни м ска за нно е . Пусть yn (x) – р е ше ни е за да ч и Ко ши

ì

n

(x)

dy

ï

= ( n

,x)) fy( t

(72)

dx

í

ï

= yn ,yn (xn )

î

то е сть yn (x) являе тся р е ше ни е м и схо дно го ур а вне ни я (1), о пр е де ле нным не

на ч а льным усло ви е м (2) в то ч ке

x0 ,

а

зна ч е ни е м выч и сле нно го

р е ше ни я

yn в

то ч ке

xn . Л о ка льна я по гр е шно сть

εn

е сть р а зно сть ме жду то ч ным р е ше ни е м

n ( n

+ h)y иx выч и сле нным р е ше ни е м

yn+1 , о пр е де ляе мыми о дни ми

и те ми ж е

да нными в то ч ке xn :

ε =

(

+1 ) - yn+1 y.

nxn

n

(73)

По дч е р кне м, ч то

в пр и ве де нно м выр а же ни и (73) yn+1 –это выч и сле нно е

ка ки м-ли б о

пр и б ли же нным ме то до м зна ч е ни е

в то ч ке xn+1 в пр е дпо ло же ни и о б

о тсутстви и

о ши б о к о кр угле ни я.

Л о ка льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге -

Кутта и ме нно

в та ко м а спе кте уж е

о б сужда ла сьв п.1.1 (см. фо р мулу (8)).

Г ло б а льна я по гр е шно сть – это

р а зно сть ме жду то ч ным р е ше ни е м за да ч и

ко ши

(1),(2)

в то ч ке

xn ,

о пр е де ляе мым на ч а льным зна ч е ни е м

в то ч ке

x0 , и

выч и сле нным р е ше ни е м yn

(все о ши б ки о кр угле ни я и гно р и р ую тся):

=

(

) - nyn .e xn y

(74)

За ме ч а ни е

1.

Пусть за да ч а

Ко ши

(1),(2) р е ша е тся ме то до м Э йле р а (9) и пр а ва я

ч а сть ур а вне ни я (1)

не

за ви си то т y . То гда то ч но е

р е ше ни е

y(x)

е стьпр о сто и нте гр а л

= 0 + òx

τ )dτ( иf ме то(yд)yЭ xйле р а фа кти ч е ски

x0

со впа да е т с

ч и сле нным

ме то до м и нте гр и р о ва ни я

по

фо р мула м

ле вых пр ямо уго льни ко в:

n−1

f (xk ) . hk y

= 0 + ån

y

(75)

xk +1

xk f) , h(f

(76)

k

= òε

τ -τ k

d (

)

xk

гло б а льна я по гр е шно стьр а вна

xn

n−1

k

= ò τ

τ - å k

xk f) , h(

e

d (f )

(77)

x0

k =0

Ср а вни ва я со о тно ше ни я (76),(77),

ви ди м, ч то

в р а ссма тр и ва е мо м

случ а е

гло б а льна я

по гр е шно сть

р а вна

сумме

ло ка льных

по гр е шно сте й ме то да :

n−1

en

= åε n .

(78)

k =0

В

о б щ е м

случ а е ,

ко гда

пр а ва я ч а сть ур а вне ни я

(1)

за ви си т о т двух

пе р е ме нных

x и

y(x) ,

ло ка льна я по гр е шно сть ме то да на

лю б о м по ди нте р ва ле

за ви си т

о т

зна ч е ни й

р е ше ни я,

выч и сле нных на

пр е дыдущ и х и нте р ва ла х.

В сле дстви е

это го

гло б а льна я

по гр е шно сть не

б уде т р а вна

сумме

ло ка льных

по гр е шно сте й.

2.

Пусть

на

все м

о тр е зке

и нте гр и р о ва ни я

за да ч и

Ко ши

(1),(2)

о т

на ч а льно го

x0

до

ко не ч но го

xn

ша г по сто яне н

и

р а ве н h .

То гда о б щ е е ч и сло

ша го в

= (

n

- 0 ) h . NПрx

е дпоx ло жи м,

ч то

выч и сле ни е

пр и б ли же нно го

р е ше ни я

пр о во ди тся

не ко то р ым

явным

ме то до м ти па

Рунге -Кутта

по р ядка

s , ч то

в

со о тве тстви и

с о пр е де ле ни е м (8)

о зна ч а е т,

ч то

ло ка льна я по гр е шно сть ме то да

е сть ве ли ч и на

по р ядка

O(hs+1 ) .

Г ло б а льна я

по гр е шно сть eN

в ко не ч но й то ч ке

и нте гр и р о ва ни я

xn ,

гр уб о го во р я,

мо же т б ыть пр е дста вле на

в ви де

суммы N

сла га е мых,

ка ж до е

и з

ко то р ых

и ме е т по р ядо к

O(hs+1 ) ,

по это му

гло б а льна я

по гр е шно стьи ме е тпо р ядо к

×

s+1

=

hs )O: ((

Nh)

O

N = e (hs )O.

(79)

За ме ч а ни е 3.

По смо тр и м,

ч то

пр о и схо ди т

с

ло ка льно й

и

гло б а льно й

по гр е шно стью

ме то да

Э йле р а

s(= )1пр и уме ньше ни и дли ныша га .

Пусть дли на ша га

уме ньши ла сь в 2

~

= h 2 ,

то гда

ло ка льна я

р а за : h

по гр е шно сть

~

уме ньша е тся пр и ме р но

в 2

s+1

=4 р а за . Н о та к ка к

εk

27

для до сти ж е ни я ко нца

о тр е зка

и нте гр и р о ва ни я те пе р ьпо тр е б уе тся

вдво е б о льше

ша го в, то

гло б а льна я о ши б ка уме ньши тся то лько в

2s=2 р а за .

В ли яни е

по гр е шно сти

о кр угле ни я

на

пр и б ли ж е нные

зна ч е ни я р е ше ни я

за да ч и

Ко ши

(1),(2) пр о и ллю стр и р уе м на

пр и ме р е

ме то да

Э йле р а

с по сто янным

ша го м.

Пусть на

ка ждо м ша ге

ме то да

Э йле р а

де ла е тся на и худша я во змо жна я

о ши б ка о кр угле ни я E

+1

=

+

(

,

k

)+ E ,

y

k

x

hfy

y

(80)

k

k

то гда по лна я о ши б ка

всле дстви е

о кр угле ни й р а вна

NE .

Сумми р уя гло б а льную

по гр е шно сть ме то да

(408)

и

по гр е шно сти

о кр угле ни я,

по луч а е м, ч то

о б щ а я

по гр е шно сть R

@

+

£

+

n - 0 )

h , x (

x

E

ch (

)

NE

Rh

O

(81)

где ко нста нта c

не

за ви си т о т зна ч е ни я ша га

h . И з по сле дне го

со о тно ше ни я

сле дуе т, ч то

сущ е ствуе то пти ма льно е

зна ч е ни е

ша га

hоп т ,

ко то р о е

ми ни ми зи р уе т

о б щ ую

по гр е шно сть R

hоп т

@

xn - x0

× E .

(82)

c

За ме ч а ни е 4.

Спр а ве дли во сти

р а ди

за ме ти м,

ч то

в

ме то де Э йле р а

о б щ а я

по гр е шно сть,

на ко пи вша яся о т о кр угле ни й, на са мо м де ле

ве де т

се б я ка к

E , по ско льку по гр е шно стьо кр угле ни й являе тся ско р е е

N

случ а йно й

ве ли ч и но й,

ч е м ко нста нто й,

ка к мы пр е дпо ло жи ли в

пр е дыдущ и х р а ссужде ни ях.

4.1. Оценк а

гло б а льно й п о греш но ст и

п о п ра ви лу Рунге

Пустьза да ч а Ко ши (1),(2) р е ша е тся ка ки м-ли б о

явным ме то до м ти па Рунге -

Кутта по р ядка

s

на се тке

с по сто янным ша го м h . Л о ка льную

по гр е шно стьме то да

(8) за пи ше м в ви де

+1

+1

ψ

s+1

s+2

h(

=y

x

)

,

y(

y (x

)

(83)

n

n

n +

h n O)-,

где

ψ x

y

)( =

,

1

ϕqs+(

) 1(0)

x=xnn .

n

s

+( )!

1

y= yn

28

Если по гр е шно сть на ч а льно го усло ви я и по гр е шно сти

о кр угле ни й сч и та ть

р а вными

нулю ,

то

для

гло б а льно й

по гр е шно сти

ме то да

εn

и ме е т ме сто

а си мпто ти ч е ско е

пр е дста вле ни е

[5]

(84)

ε n

=

n

s

+

h

O) ,

hz( x (

)

s+1

где

xn

y

æ xn

¶xf

))

ö

τ

expτ ))

(

, (ξ ψ( ξ )

=

n

ò

ç zò

(y÷d,ξ(.dτ

ç

¶y

÷

xo

è ξ

ø

Пр е не б р е га я ч ле но м O(hs +1)

в о це нке (84), за пи ше м фо р мулу для гло б а льно й

по гр е шно сти

εn

в ви де

ε n

@ (

n )hzs .x

(85)

Да ле е

б уде м пр е дпо ла га ть, ч то р а ссма тр и ва ю тся то лько

та ки е

за да ч и Ко ши ,

для ко то р ых

гло б а льна я