metodichka_chm_chast_1

11

( , ),

æ

h

K

ö

ç x hf , y0

=+K

1

÷y0, K+x hf 21

=

0 0

è

4

4

ø

1.6. М ет о ды

п о рядк а вы ш ечет верт о го

Для фо р мул ти па Рунге -Кутта сте пе ни б о льше

ч е тыр е х по ка за но , ч то

о ни

тр е б ую т N -кр а тно го

выч и сле ни я пр а во й ч а сти , где

N б о льше сте пе ни .

Э ти

фо р мулыи ме ю тгр о мо здки е ко эффи ци е нты, и мыо тпр а вляе м ч и та те ля к кни га м

[2,3].

1.7. Реш ени еси ст ем о б ы к но венны х ди фференци а льны х ура внени й

м ет о да м и

т и п а

Рунге-К ут т а

М

е то ды Рунге -Кутта

б е з тр уда

пе р е но сятся на р е ше ни е

за да ч

Ко ши для

си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й р а зме р но сти M

ì

¢

=

Î

B]A, [x x y ), (f ,

(35)

í

î

0

= y0 , y(x )

1

2

M Τ

1

M

Τ M

1

M11 2

M

Τ

где = (

,

,..., y

=y ( (

)

(

,..., y

f y

) y,y

)), y, x0 = f( ,...0 ,, 0

,...y , y, 0

yf),y...xy,

Ф о р мулыРунге -Кутта за пи сыва ю тся в ве кто р но м ви де

_

_ 2

+ + _

q h) , (K +p

=...h +)K( p

h(36))K py y

1 1

0

q

2

qq

q

1

1

0 = 01

2

0 = y02 . x )y ( y ,y (x )

и двуч ле нную

фо р мулу ме то да Рунге -Кутта (20)

ì

1 æ _

_

ö

ï

1

0

ç

1 + K=2

÷,K+ y y

2

ï

_

è

ø

_

ö

(37)

í

(

)

æ

ï

1

ç

0

+=

K1

÷.y+ h x =,f h

k y,Kx ,f h

ï

è

0

20

0

î

ø

Об р а щ а е м

вни ма ни е

ч и та те ля

на

то , ч то

в за пи сях

ili ,,kil ,yвеkр хни й

и нде кс о б о зна ч а е тно ме р

ко мпо не нты ве кто р но го р е ше ни я, а

ни жни й и нде кс –

но ме р

то ч ки ,

в

ко то р о й

за пи сыва е тся

р а ссма тр и ва е мо е

р е ше ни е .

Ра спи ше м

по ко мпо не нтно ве кто р ную

фо р мулу (37):

1

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

0

( 1

2 ),

1

0

(

1

+

K2 ), K+

= y y

+ K= K+ y y

(20

0 2

11 =

1

10

02 )

12 =

2

2 (

01 y02 ),y x, ,hf

K y,, y, Kx hf

1

1

( 0

1

1

2

2

0

1

0

+ K1 ), ,y= + K ,y+ h Kx hf

2

2

( 0

1

1

2

+

2

). ,=y

+ K ,y+ h Kx hf

2

0

1

0

K1

В ыр а же ни я для гла вных ч ле но в по гр е шно сте й

в случ а е

р е ше ни я си сте м

ур а вне ни й (35) ста но вятся гр о мо здки ми , мыи х не

пр и во ди м. Одна ко по дч е р кне м,

ч то выво ды о тно си те льно

гла вных ч ле но в по гр е шно сти ,

сде ла нные

для о дно го

ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я,

о ста ю тся

в

си ле

и

для

си сте мы

за пи сыва е тся а на ло г

ме то да

ти па

Рунге -Кутта

по р ядка

s ,

то

гла вна я ч а сть

по гр е шно сти

для ка ждо й ко мпо не нтыр е ше ни я

1,

2 ,..., y My и меy

е тта кж е по р ядо к

s + 1:

ϕq

0

0

q

i

qi) =( (h

O) h -k= )p-

+( y (

)h h x y

(38)

å

l

l

l

l

s+1

i=1

Ко гда

го во р ят,

ч то

р е ше ни е

си сте мы о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных

ур а вне ни й по луч е но с а б со лю тно й по гр е шно стью

ε , то

по др а зуме ва ю т,

ч то все

ко мпо не нтыр е ше ни я и ме ю та б со лю тную по гр е шно сть, не

пр е выша ю щ ую

ε .

Ка к и в о б ыч ных,

о дно сто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта , в двухсто р о нни х

ме то да х пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е в узле

x0 + h

б уде м

и ска ть в ви де (4),(5).

Отно си те льно гла вно й ч а сти по гр е шно сти

на ша ге

ϕq (h)

сде ла е м до по лни те льно е

па р а ме тр а

γ

γ (¹

) 0 б удут да ва ть ве р хне е

и ни ж не е пр и б ли ж е ни я к и ско мо му

р е ше ни ю .

Та ки е

фо р мулы б уде м на зыва ть фо р мула ми двухсто р о нне го

ме то да

Рунге -Кутта .

По луч е нные пр и б ли ж е нные

р е ше ни я б уде м о б о зна ч а ть

y1+ , y1− .

Со о тве тствую щ и е

эти м пр и б ли же нным р е ше ни ям ло ка льные по гр е шно сти на

ша ге р а вны

И та к,

ко эффи ци е нты

α , β , pqii

вij двухсто р о нни х ме то да х

Рунге -Кутта

выб и р а ю тся

та к,

ч то б ы по гр е шно сть ме то да и ме ла ма кси ма льно

во змо ж ный

по р ядо к по

h пр и

усло ви и ,

ч то

гла вна я ч а сть по гр е шно сти и ме е тмно жи те ле м

ч и сло во й па р а ме тр ,

мо гущ и й

пр и ни ма ть

зна ч е ни я, р а вные

по

ве ли ч и не

и

пр о ти во по ло ж ные

по

зна ку.

Оч е ви дно ,

ч то

выч и сли в зна ч е ни я

y1+ , y1− , мо жно

в

ка ч е стве пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я взятьи х ср е дне е а р и фме ти ч е ско е

10 = 1 (

1+ y+ y1− ), y

(40)

2

по гр е шно стько то р о го

на по р ядо к выше

по гр е шно сте й y1+ , y1− :

0

1

(

=)=

s+1 +

−

( )

q

q

q h o )+. h(

y

) h(

y( ) y h

(41)

2

14

2.1. Двучленны едвухст о ро нни ем ет о ды Рунге-К ут т а

Ра ссмо тр и м двухч ле нную

фо р мулу (11). Если сущ е ствуе т двухсто р о нни й

ме то д

Рунге -Кутта

вто р о го

по р ядка

с

двуч ле нно й фо р муло й,

то

тр е тья

пр о и зво дна я по гр е шно сти ϕ

′′′

в то ч ке h = 0 до лж на и ме тьв ка ч е стве мно ж ите ля

2 (h)

ч и сло во й

па р а ме тр

для лю б о й

функци и

fy)(x. , Э то не во змо жно ,

по ско льку в

выр а же ни и (16) для

′′′

)(0по сле дне е сла га е мо е не и ме е тч и сло во го

мно ж ите ля.

ϕ2

Сле до ва те льно , двуч ле нно го

двухсто р о нне го

ме то да Рунге -Кутта вто р о го

по р ядка

не

сущ е ствуе т.

По ка же м,

ч то

мо жно

по стр о и ть двуч ле нные

двухсто р о нни е

ме то ды пе р во го

по р ядка . В

это м случ а е

′

′′

¹ 0(0)

мы по ла га е м, ч то ϕ2

= 0,ϕ)(20

. И з

выр а же ни я (13) сле дуе т, ч то

р а ве нство нулю

пе р во й пр о и зво дно й по гр е шно сти в

то ч ке

h = 0 сво ди тся к усло ви ю

1− p

− p22

= 0 ,21

(42)

а

′′

)(0ч и сло во му па р а ме тр у γ с уч е то м пр е дста вле ни я (14)

пр о по р ци о на льно сть ϕ2

– к р а ве нства м

- α2 p22 = 2γ

1

2

(43)

- β p22 = 21γ . 2

1 2

Та ки м

о б р а зо м,

со о тно ше ни я

(44)

пр и

p21

¹ 1

о пр е де ляю т

двухпа р а ме тр и ч е ско е

се ме йство

двухсто р о нни х

фо р мул Рунге -Кутта

пе р во го

по р ядка .

За ме ч а ни е

1.

Случ а й

p21 = 1 не

пр е дста вляе т

и нте р е са .

В

са мо м

де ле ,

и з

ур а вне ни я (42) то гда

сле дуе т, ч то

p22 = 0 , а

ур а вне ни я (43) да ю т

е ди нстве нно е

р е ше ни е

для ч и сло во го мно ж и те ля γ (γ = 1

2

) .

За ме ч а ни е

2.

Если по тр е б о ва ть выпо лне ни я е сте стве нно го

усло ви я

0 ≤ α2 ≤ 1,

то

р е ше ни е

(44) на кла дыва е то гр а ни ч е ни я на выб о р па р а ме тр а γ :

2. γ =

1

p,21

=

. 0

4

æ

h

h

ö

+

ç x hfy, y

+y

(

+, yf0=)÷x0

+

0

0 1

0

4

è

4

ø

(51)

æ

3

3

ö

−

ç

,

+

(

+, y0=)÷x0

hf+

0 y

h

0 x 1

hfy 0

y

4

4

è

ø

3. γ =

1

p,21

=

. 0

6

æ

h

h

ö

+

ç x hfy, y

+y

(

+, yf0=)÷x0

+

0

0 1

0

3

è

3

ø

(52)

æ

2

2

ö

−

ç

,

+

(

+, y0=)÷x0

hf+

0 y

h

0 x 1

hfy 0

y

3

3

è

ø

4. γ =

1

, p21

=

1

.

4

4

Н а по мни м,

ч то

во

все х двуч ле нных двухсто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта

по гр е шно стьша га и ме е тви д

ϕ2

= γ

2 { x¢ +

y¢}x=x0 +

h3 )O. (

ff

h f

h

(

)

(54)

y= y0

2.2. Трехчленны едвухст о ро нни ем ет о ды Рунге-К ут т а

М е то дыэто го ти па

о б р а зую тне ско лько

тр е хпа р а ме тр и ч е ски х се ме йств [2 ]

и и ме ю тпо гр е шно стьна ша ге

по р ядка

O(h3 ) . В

пр и ве де нных ни ж е

пр и ме р а х 1-2

по гр е шно стьна ша ге

и ме е тви д

ϕ3

= γ

3 { ¢

¢ +

y¢}x=xx0 y+

h4 )O,

(

ff

fh f

h

( )

(55)

y= y0

в пр и ме р а х 3-4 – ви д

ϕ3

(h) = γ

h3

{

¢¢

+

¢¢

+2

2

¢¢

+

xy h

4

)O. ( xx

f ff

ff

(56)

2

yy }x=x0

y= y0

1. γ = 1.