metodichka_chm_chast_1

41

Одна ко

б ыва е т,

ч то

фи зи ч е ски й

смысл

за да ч и

и ли

и ные

со о б р а же ни я

по дска зыва ю т, ч то о це нку по гр е шно сти до ста то ч но

пр о и зво ди тьто лько

по

о дно й

и з ко мпо не нт

р е ше ни я.

В спо мни в,

ч то

по гр е шно сть

р е ше ни я

си сте мы

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

являе тся ве кто р о м

р а зме р но сти

M,

мо жно

пр е дста ви ть си туа ци и ,

ко гда о це нка

по гр е шно сти

пр о во ди тся по

не ко то р о й

ве кто р но й но р ме

по гр е шно сти .

Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти

пр и

р е ше ни и си сте мы о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й та кж е

пр о во ди тся ч а щ е

все го

по ко мпо не нтно , т.е .

те м и ли и ным ме то до м о це нки

ло ка льно й по гр е шно сти (ме то до м Рунге ,

и ли на

о сно ве

ко мб и на ци й фо р мулр а зных по р ядко в то ч но сти , и ли вло же нным ме то до м)

выч и сляю тся гла вные

ч а сти

по гр е шно сте й

i (

0

+

) − yi

длhяy всеx

х ко мпо не нт

1

и пр и ни ма е тся за о це нку по гр е шно сти

си сте

мы. Одна ко

за

ло ка льную

по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы ур а вне ни й

мо жно

пр и нять и

и ные

о б ъе кты –

5. Авто м а т и ческ и й вы б о р ш а га

и нт егри ро ва ни я за да чи К о ш и

И нтуи ти вно по нятно , ч то пе р е ме нных

ша г и нте гр и р о ва ни я

по зво ляе т

уч и тыва ть о со б е нно сть по ве де ни я р е ше ни я и

ми ни ми зи р о ва ть выч и сли те льные

за тр а ты пр и со хр а не ни и

тр е б уе мо й то ч но сти

ч и сле нно го

р е ше ни я.

М е то да ми

ва р и а ци о нно го

выч и сле ни я по ка за но , ч то

пр и за да нно м

ур о вне

гло б а льно й

по гр е шно сти

р е ше ни я

выч и сли те льные

за тр а ты б удут

ми ни ма льны, е сли

ло ка льна я по гр е шно сть на ка ждо м ша ге б уде т по сто янна .

Э то т фа кт являе тся

це нтр а льно й и де е й а лго р и тмо в а вто ма ти ч е ско го выб о р а ша га .

За ме ч а ни е . По гр е шно стьо кр угле ни я в на сто ящ е м ме то де не

уч и тыва е тся.

42

5.1. М ет о д удво ени я и

делени я ш а га п о п о ла м

Пусть для по луч е ни я пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) выб р а н

не ко то р ый

ме то д

ти па

Рунге -Кутта

и и ме е тся в р а спо р яже ни и спо со б о це нки

ло ка льно й

по гр е шно сти

выб р а нно го

ме то да . Ка к и

р а не е , о б о зна ч и м ч е р е з ε n+1

ло ка льную

по гр е шно сть

ме то да

в

то ч ке

xn + h ,

а пр и б ли же нно е

зна ч е ни е ,

выч и сле нно е

с

ша го м

h

–

ynh+1 .

Пусть

на и б о льша я до пусти ма я

ло ка льна я

по гр е шно стьша га и нте гр и р о ва ни я р а вна ε > 0 . То гда е сли

ε n+1

> ε ,

(139)

то

пр и б ли ж е нно е

зна ч е ни е

ynh+1 сч и та е тся не удо вле тво р и те льным по

то ч но сти и

выб и р а е тся но во е

зна ч е ни е

ша га

h(1)

= h

2

.

(140)

С

эти м но вым ша го м по

то й ж е фо р муле

Рунге -Кутта выч и сляе тся но во е

зна ч е ни е

ynh+(1)1

в но во й то ч ке xn

+ h(1) . Если

о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ε n+)1(1 на

но во м

ша ге

h )(1 о пять

пр е во схо ди т

за да нную

на и б о льшую

до пусти мую

ло ка льную

по гр е шно сть ε

ε n+)1(1

> ε ,

(141)

то ша гсно ва де ли тся по по ла м

h

)(2= h

)(1 .

(142)

2

и

выч и сле ни я

по вто р яю тся.

Та к

пр о и схо ди т до

те х по р , по ка

ло ка льна я

по гр е шно стьне

ста не тме ньше

и ли р а вна

ε

пр и ка ко й-то ве ли ч и не ша га , ко то р ую

о б о зна ч и м hn :

εn+1

≤ ε .

(143)

Да льне йше е

и нте гр и р о ва ни е

ур а вне ни я

б уде т пр о и зво ди ться

и з

то ч ки

+1 =

+xnhn

сxnша го м hn+1 ,

ко то р ый

выб и р а е тся

по

сле дую щ е му пр а ви лу.

Если

ло ка льна я по гр е шно сть ε

n+1

на ша ге

=

+1

− xh

удоxвле тво р яе тне р а ве нству

n n

n

ε

n+1

< ε

,

(144)

k

43

где k

–

ко нста нта,

то

ша г и нте гр и р о ва ни я

удва и ва е тся

hn+1 = 2hn .

Если

выпо лняе тся не р а ве нство

ε

≤

ε

n+1

≤ ε ,

(145)

k

то ша ги нте гр и р о ва ни я не

ме няе тся,

hn+1 = hn .

(146)

Ко нста нта

k по ла га е тся р а вно й

2s ,

где s

– по р ядо к и спо льзуе мо й о це нки

ло ка льно й по гр е шно сти ме то да .

Та ки м

о б р а зо м

о сущ е ствляе тся

и зме не ни е

ша га

и нте гр и р о ва ни я

в

за ви си мо сти о т ха р а кте р а

р е ше ни я: та м,

где

высо ка

то ч но сть пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я,

ша г во зр а ста е т,

а

та м,

где

за да нна я

то ч но сть не

до сти га е тся,

ша г

уме ньша е тся. И зло же нный выше а лго р и тм о тр а жа е тли шьо сно вную

и де ю ме то да

удво е ни я и де ле ни я ша га

по по ла м. В

хо р о ши х пр о гр а ммных р е а ли за ци ях это т

ме то д

со де р ж и т мно го

о со б е нно сте й,

ко то р ые

де ла ю т е го

б о ле е

на де ж ным и

эко но ми ч ным.

В

ни же сле дую щ и х за ме ч а ни ях пр и ве де ны не ко то р ые

и з

эти х

о со б е нно сте й.

За ме ч а ни е

1.

Для со кр а щ е ни я ч и сла б е спо ле зных пр о ве р о к пр и ме ни мо сти

ша га

и нте гр и р о ва ни я

а лго р и тм мо ди фи ци р уе тся

сле дую щ и м

о б р а зо м.

Если пр и

и нте гр и р о ва ни и

и з то ч ки

x

n

в то ч ку

+1

=

+x h

шаx

г

n n

n

и нте гр и р о ва ни я

уме ньша лся хо тя

б ы о ди н

р а з,

то

пр и

выб о р е

сле дую щ е го

зна ч е ни я

ша га

и нте гр и р о ва ни я

hn+1 удво е ни е

пр е дыдущ е го ша га

не

пр о и схо ди т,

да ж е

е сли

удо вле тво р яю тся

со о тно ше ни я (144).

И ными

сло ва ми ,

е сли

на

да нно м ша ге

б ыла

не уда ч на я

по пытка

пр и ме не ни я ша га

и нте гр и р о ва ни я,

то

для

сле дую щ е го

ша га не

до пуска е тся уве ли ч е ни е

е го

дли ны.

За ме ч а ни е

2.

За

два

ша га

впе р е д

пр о ве р яе тся

то ч ка

ко нца

и нте р ва ла

и нте гр и р о ва ни я

с

те м,

ч то б ы

и спр а ви ть пр и

не о б хо ди мо сти

ве ли ч и ну ша га ,

ч то б ы до сти гнуть ко нца

о тр е зка

и нте гр и р о ва ни я

б е з сли шко м р е зки х и зме не ни й в ве ли ч и не

ша га .

44

За ме ч а ни е

3.

По льзо ва те ль до лже н и ме ть во змо жно сть за ка зыва ть вр е мя сч е та

по

пр о гр а мме .

Э то

мо жно

сде ла ть

тр е мя

спо со б а ми :

и ли

пр о гр а мми ст ста ви т сч е тч и к

ч и сла

выч и сле ни й

пр а во й

ч а сти

ур а вне ни я, о гр а ни ч и в ч и сло

выч и сле ни й пр а во й ч а сти не ко то р ым

па р а ме тр о м,

и ли

ста ви т

о гр а ни ч е ни е

на

дли ну

ша га

и нте гр и р о ва ни я,

и ли

ста ви т о гр а ни ч е ни я

на

ч и сло

ша го в

и нте гр и р о ва ни я.

Ре а кци я

пр о гр а ммы

на

пр е выше ни е

эти х

па р а ме тр о в

о го ва р и ва е тся

с

за ка зч и ко м

пр о гр а ммы,

в

р о ли

ко то р о го

в уч е б но м пр о це ссе

выступа е тпр е по да ва те ль,

ве дущ и й

за няти я.

За ме ч а ни е

4.

Пр и

выб о р е

сле дую щ е го

ша га

ч и сло

удво е ни й дли ныша га

мо ж е т

б ытьо гр а ни ч е но

не ко то р ым па р а ме тр о м; о б ыч но не

до пуска ю т5-

кр а тно го

удво е ни я дли ныша га .

За ме ч а ни е

5.

Ч то б ыи зб е ж а тьза ци кли ва ни й пр о гр а ммы, не о б хо ди мо пр о ве р ять,

ч то в усло ви ях ма ши нно й а р и фме ти ки выпо лнятся не р а ве нство

+

¹ xxnn, hn

(147)

т.е .

ч то

ве ли ч и на

hn

не

ме ньше р а ссто яни я

о т xn

до со се дне го

спр а ва (пр и

hn > 0 ) и ли

сле ва

(пр и

hn < 0 )

ве щ е стве нно го

ч и сла ,

ко то р о е

пр е дста вле но

на

и спо льзуе мо й Э В М

. Для это го

ша г

и нте гр и р о ва ни я до лже н удо вле тво р ятьусло ви ю

h

³

{σ , r},

max

(148)

где

σ

– на и ме ньше е

по ло жите льно е

ч и сло ,

пр е дста ви мо е

на

да нно й Э В М

, τ @

×

x

,

machepsmacheps– ма ши нно е

эпси ло н [7].

Зна ч е ни е ,

б ли зко е

к

ма ши нно му

эпси ло н,

выч и сляе тся

по сле дую щ е му пр о сто му а лго р и тму:

R := 1

п ока

+ R > 1 )

(1

н ц

(149)

R := R

2

кц

:= R 2

macheps

За ме ч а ни е

6.

Для то го , ч то б ыи зб е жа ть не пр и ятно сте й,

о ко то р ых го во р и ло сь в

За ме ч а ни и

5, мо ж но

ста ви ть о гр а ни ч е ни я

на

ч и сло де ле ни й

пе р во на ч а льно го

ша га

и нте гр и р о ва ни я. Н

а пр и ме р , е сли о гр а ни ч и ть

ко ли ч е ство

де ле ни й

два дца тью , то

до пуска е тся

ма кси ма льно е

уме ньше ни е ша га в 106

р а з.

За ме ч а ни е

7.

В ыб о р

о пти ма льно го

са мо го

пе р во го

ша га

и нте гр и р о ва ни я

–

тр удна я за да ч а ,

е сли р е ша ть е е

в по лно м о б ъе ме . Са мый пр о сто й

выхо д – по ло ж ить пе р во на ч а льный ша г р а вным не ко то р о й ч а сти

о тр е зка

и нте гр и р о ва ни я, на де ясь на

то ,

ч то

ме то д

удво е ни я

и

де ле ни я

ша га

по по ла м

до во льно

б ыстр о

выйде т

на

удо вле тво р и те льно е зна ч е ни е дли ныша га .

5.2. М ет о д вы б о ра м а к си м а льно й для за да нно й т о чно ст и

дли ны ш а га

h для о пр е де ле ни я сле дую щ е й то ч ки и нте гр и р о ва ни я

n+1 = n +x h . Сx это й це лью

сч и та е тся по гр е шно сть ε n+1

(гла вна я ч а стьпо гр е шно сти , см. со о тно ше ни е (84)), с

ко то р о й о пр е де ляе тся зна ч е ни е yn+1 в то ч ке xn + h , и ср а вни ва е тся с ε . Если

( n ,

n )

xhs+1ψ=

n+1

> ε ,

ε

(150)

то зна ч е ни е

ша га

h

пр и зна е тся не удо вле тво р и те льным и выб и р а е тся но вый ша г

и нте гр и р о ва ни я hε

и з со о тно ше ни я

hε = αh ,

(151)

46

где па р а ме тр

α

вве де н

для то го , ч то б ы гла вна я ч а сть ло ка льно й

по гр е шно сти

б ыла

то ч но р а вна

ε :

ψ (

n

,

n

)

hxs+1y= ε .

(152)

ε

И з со о тно ше ни й (150)- (152) ле гко по луч а е м зна ч е ни е но во го

ша га hε

h

= s+1

ε

× h ,

(153)

ε

ε n+1

пр и это м

α = s+1

ε

< 1.

(154)

ε n+1

Н о вым узло м и нте гр и р о ва ни я б уде тявляться узе л

n+1 = n +x hε .

x

Если ло ка льна я по гр е шно сть ε n+1 не пр е во схо ди тза да нно го ε

ε n+1

≤ ε ,

(155)

ша г

h сч и та е тся

удо вле тво р и те льным

и

в

ка ч е стве

сле дую щ е го узла

и нте гр и р о ва ни я пр и ни ма е тся узе л n+1 = n +x h , прx и

это м та кж е

о пр е де ляе тся ша г

hε по

фо р муле

(153), где

α б уде туж е

б о льше е ди ни цы, т.е . ша г hε

б уде тб о льше

ша га

h . Да льне йше е

и нте гр и р о ва ни е

ур а вне ни я (1) и з то ч ки

xn+1

на ч и на е тся с

пр о ве р ки удо вле тво р и те льно сти ша га

hε .

К о пи са нно му в это м пункте ме то ду выб о р а ша га и нте гр и р о ва ни я в по лно й

ме р е

о тно сятся За ме ч а ни я 2,5,7 и з пр е дыдущ е го

пункта.

За ме ч а ни е .

Пр и пр а кти ч е ско й р е а ли за ци и

па р а ме тр α за ме няе тся на па р а ме тр

α

= 0,9α .

6. И нди ви дуа льны еза да ни я

п о чи сленны м м ет ода м

реш ени я

за да чи К о ш и

6.1. О дем о нст ра ци и ра б о т ы п ро гра м м

В о

вр е мя сда ч и пр е по да ва те лю

пр о гр а ммы студе нт на

р яде

пр и ме р о в,

ко то р ые

по дго та вли ва е т са мо сто яте льно , до лже н

по ка за ть, ч то

е го

пр о гр а мма

р а б о та е т в со о тве тстви и с за да ни е м.

Н а пр и ме р ,

е сли за да ч а

Ко ши

р е ша е тся

47

ме то до м Рунге -Кутта

тр е тье го

по р ядка ,

на до

по ка за ть, ч то р е а ли зо ва н в са мо м

де ле ме то д

тр е тье го

по р ядка

то ч но сти .

Для

это го

до ста то ч но

выпо лни ть р яд

те сто вых пр и ме р о в – в за да ч а х Ко ши , в ко то р ых р е ше ни е

являе тся по ли но мо м

нуле во й, пе р во й,

вто р о й и тр е тье й сте пе ни , до лжно

по луч а ться то ч но е

р е ше ни е , а

е сли р е ше ни е

е стьпо ли но м б о ле е

высо ко й сте пе ни , то

ч и сле нно е

р е ше ни е и ме е т

по гр е шно сть.

Если

в со о тве тстви и

с

за да ни е м

а вто ма ти ч е ски й

выб о р

ша га

и нте гр и р о ва ни я

р е а ли зуе тся

ме то до м удво е ни я

и

де ле ни я

ша га

по по ла м,

то

не о б хо ди мо

по до б р а ть

пр и ме р ы

с

за р а не е

и зве стно й

по гр е шно стью

и

спе ци а льным о б р а зо м за да ва ть то ч но сть с те м,

ч то б ы р е ше ни е

по луч а ло сь в

за р а не е пр е дска за нных то ч ка х и т.п.

По стр о е ни е

те сто вых

пр и ме р о в

не

до лжно

тр е б о ва ть

б о льшо й

выч и сли те льно й

р а б о ты.

Одна ко

и х со ста вле ни е

не во змо жно

б е з

глуб о ко го

по ни ма ни я пр о гр а мми р уе мо го

ме то да .

Н и ж е

пр и ве де н

р яд

за ме ч а ни й

по

р а зр а б о тке

и ллю стр и р ую щ и х те сто вых

пр и ме р о в. В ни ма те льно е и х и зуч е ни е

да ж е

в случ а е , е сли о ни не по ср е дстве нно

не

о тно сятся

к

и нди ви дуа льно му

за да ни ю

студе нта,

зна ко мят

ч и та ю щ е го

с

о сно вными

пр и нци па ми

и и де ями ,

ле жа щ и ми в о сно ве

по стр о е ни я те сто вых

пр и ме р о в для р е ше ни я на ч а льных за да ч (1)-(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта .

За ме ч а ни е

о на ч а льно й то ч ке и нте гр и р о ва ни я.

Н и ж е

пр и со ста вле ни и те сто вых пр и ме р о в для пр о сто тывыкла до к

по ла га е м x0

= 0 .

За ме ч а ни е

о

со ста вле ни и

ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я

с

за р а не е

и зве стным

р е ше ни е м.

До пусти м, мы хо ти м со ста ви ть ур а вне ни е , р е ше ни е

ко то р о го

е сть

(

) = x3 .y Уx ч и тыва я,

ч то

′

= 3x( 2 ),yзаxпи ше м не ско лько

пр и ме р о в

та ки х ур а вне ни й:

y′ = 3x2 ,

′

2 x(−yx)=3, y −′

(3=+ x)−. 3 xy y x

За ме ч а ни е

о

со ста вле ни и

ди ффе р е нци а льно й

за да ч и ,

ко то р а я пр и

ч и сле нно м

р е ше ни и да е тза р а не е и зве стную

по гр е шно стьме то да на ша ге .

Пр и ме р 1.

49

За ме ч а ни е

о

со ста вле ни и

те сто во го

пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го

удво е ни е

ша га

и нте гр и р о ва ни я

пр и

а вто ма ти ч е ско м

выб о р е

ша га

ме то до м

удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м.

Пусть р е ша е тся за да ч а Ко ши

ме то до м Рунге -Кутта

по р ядка

S

и

ка ки м-ли б о

ме то до м

на

ка ждо м ша ге

о це ни ва е тся

по гр е шно сть

р е ше ни я.

То гда

е сли

в ка ч е стве

те сто во го

пр и ме р а

взять за да ч у

Ко ши ,

р е ше ни е м ко то р о й являе тся по ли но м сте пе ни не

выше

S , то

по гр е шно стьна

ка ждо м ша ге

б уде тр а вна нулю

(ч и сле нный ме то д

б уде т

да ва ть

то ч но е

р е ше ни е )

и ,

сле до ва те льно ,

ша г

и нте гр и р о ва ни я б уде тпо сто янно

удва и ва ться.

К пр и ме р у,

пустьна ч а льный ша г и нте гр и р о ва ни я за да е тся р а вным

0.005.

То гда

по сле до ва те льно сть

то ч е к,

в ко то р ых

б уде т

выда ва ться р е ше ни е , та ко ва :

=

=

=

3 =

4

=

x5

=

155 иx. 0та к да, ле075xе .

. 0

x2, x0350

За ме ч а ни е

о

со ста вле ни и

те сто во го

пр и ме р а ,

де мо нстр и р ую щ е го

уме ньше ни е

ша га и нте гр и р о ва ни я в два

р а за

пр и

а вто ма ти ч е ско м выб о р е

ша га

ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м.

Пусть пр о гр а мми р уе тся ме то д Рунге -Кутта

вто р о го

по р ядка

(22).

И з Пр и ме р а 1 о

со ста вле ни и

ди ффе р е нци а льно й за да ч и

с за р а не е

и зве стно й

по гр е шно стью

ме то да

на

ша ге

сле дуе т,

ч то

пр и

и нте гр и р о ва ни и

ур а вне ни я

y¢ = 12x2

о тна ч а льно го

усло ви я

y

= 0

)(0

по гр е шно стьме то да на лю б о м ша ге

р а вна h3 . Пустьна ч а льный ша г

и нте гр и р о ва ни я

H , а

тр е б уе ма я то ч но сть р е ше ни я

(H

2k )3 , где

k

–

не ко то р о е

це ло е

ч и сло .

То гда

о ч е ви дно ,

ч то

пр и

выч и сле ни и

пе р во й то ч ки пе р во на ч а льный ша г б уде т k

р а з по де ле н на

два , а

да ле е

р а сч е тные

то ч ки

б удут сле до ва ть с по сто янным

ша го м,

р а вным H

2

k :

x 0, x

H

2

, x 2 (H

), x3

3× (H= k ) и2та к0×да ле= kе1.=

=

2

2

50

Пр и ве де нные

выше

р а ссужде ни я

де ла ли сь

в пр е дпо ло же ни и

о тсутстви я

по гр е шно сте й о кр угле ни я. Для

то го ,

ч то б ы о ни

не

по вли яли

на

пр е дпо ла га е мую

по сле до ва те льно сть

то ч е к

выч и сле ни я р е ше ни я,

р е ко ме ндуе м зна ч е ни е

то ч но сти б р а ть ч уть

ме ньше , ч е м

(H

3

(H

3

æ

- (H

3

ö

2

k ) , на пр и ме р

2

k )

ç1

2

k )

÷ .

è

ø

За ме ч а ни е

о те сти р о ва ни и ,

связа нно м с гло б а льно й по гр е шно стью ме то до в ти па

Рунге -Кутта .

Пр и те сти р о ва ни и это го р о да и спо льзую тто тфа кт,

ч то гло б а льна я

по гр е шно стьме то до в ти па Рунге -Кутта р а вна сумме

по гр е шно сте й

на о тде льных ша га х и нте гр и р о ва ни я,

е сли пр а ва я ч а стьи схо дно го

ур а вне ни я

не

за ви си т о т

y(x) ,

а

являе тся

то лько

функци е й

а р гуме нта

x .

В

это м

случ а е

по дб и р а е тся за да ч а

Ко ши

(см.

За ме ч а ни е

о

со ста вле ни и

ди ффе р е нци а льно й

за да ч и ,

ко то р а я пр и

ч и сле нно м р е ше ни и да е тза р а не е

и зве стную

по гр е шно сть ме то да

на

ша ге )

с

за р а не е

и зве стными

по гр е шно стями

на

ша ге

и

пр о во ди тся и х не по ср е дстве нно е

сумми р о ва ни е .

6.2. Об о ш и б к а х, до п ущ енны х п ри

за да ни и

вхо дны х п а ра м ет ро в

Одни м и з о б яза те льных тр е б о ва ни й,

пр е дъявляе мых к р а зр а б а тыва е мым

по дпр о гр а мма м, являе тся

и х

б е за ва р и йна я р а б о та. В

ч а стно сти ,

пр и лю б ых

вхо дных

да нных

выпо лне ни е

по дпр о гр а ммы до лжно

успе шно

за ве р ши ться.

У спе шно е

за ве р ше ни е р а б о ты пр о гр а ммы пр и

не пр а ви льно

за да нных вхо дных

па р а ме тр а х – это

за ве р ше ни е

р а б о ты с со о тве тствую щ и ми

зна ч е ни ями

ко да

за ве р ше ни я. Пусть, к пр и ме р у, вхо дными па р а ме тр а ми являю тся:

N – ч и сло то ч е к р а вно ме р но го

р а зб и е ни я для о пр е де ле ни я пе р во на ч а льно го

ша га и нте гр и р о ва ни я;

A, B – на ч а ло

и ко не ц и нте р ва ла и нте гр и р о ва ни я;

C – то ч ка , где

за да нына ч а льные усло ви я (ли б о

это то ч ка

A , ли б о

то ч ка

B );

yC – на ч а льно е

зна ч е ни е

р е ше ни я в то ч ке

C ;