Основы теории систем и вычислительные схемы системного анализа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Методическое пособие для вузов

Составители: Н.Б. Баева, Д.В. Ворогушина

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2009

1

§1. Основы проектирования систем.

1.1.Основные понятия и факты. Простейший описатель системы.

Внастоящее время нет единого определения понятия «система». Основоположник теории систем Людвиг фон Берталанфи определял систему как комплекс взаимодействующих элементов или как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой. А. Холл понимал под системой множество предметов вместе со связями между предметами и между их признаками. Начиная с основоположника кибернетики У.Р.Эшби в определение понятия «система» наряду с элементами, связями и их свойствами и целями начинают включать наблюдателя.

Под системой ( S ) будем понимать совокупность элементов, вступающих в отношения друг с другом и обладающих целостностью и единством.

Элемент ( e E ) – неделимая часть системы, определяемая на основе заранее введенных общих принципов, для которых известны основные характеристики. E - множество элементов системы. Элемент является пределом разбиения системы с точки зрения решения конкретной задачи и поставленной цели. Элементы системы могут задаваться, например, простым перечислением, множеством.

Подсистема – совокупность элементов, находящихся между собой в более тесных связях, принадлежащих системе в целом и способных выполнять относительно независимые функции, подцели. Система может быть разделена на элементы не сразу, а последовательным расчленением на подсистемы, которые представляют собой компоненты более крупные чем элементы, и в то же время более детальные, чем система в целом.

Каждый элемент системы характеризуется некоторым набором свойств. Под свойством элемента ( P(e) ) понимают характеристику, которая

может быть определена с помощью набора операций или измерена с помощью какого-то инструмента.

При выделении элементов необходимо придерживаться следующих принципов:

1.Принцип целесообразности. Необходимо оценивать влияние элемента на конечную цель исследования системы.

2.Принцип минимальной достаточности. Для описания оригинала любой природы в виде системы используется минимально необходимое число элементов, обеспечивающее достижение цели исследования.

3.Принцип «часть-целое». Элемент системы и система в целом должны быть совместимы. Множество свойств системы S будем обозначать P(S) . Тогда

справедливо следующее включение P(e) P(S).

Следует отметить, что характеристики системы не являются простой суммой характеристик свойств элементов, составляющих эту систему. Система может обладать характеристиками, которыми не обладает ни один из элементов, составляющих ее.

4

Пусть E = {e1 ,e2 ,...,en }- множество элементов, составляющих систему S ,

тогда Un P(ei ) P(S).

i =1

Состояние – определенное значение, набора наиболее существенных показателей или свойств, которые приняты для оценки элемента (C(e) ),

системы (С(S)) или подсистемы.

Взаимодействие элементов в системе осуществляется по средствам

Когда один элемент вступает в отношения с другим элементом, он теряет часть своих свойств и одновременно приобретает новые. Различают нейтральные и направленные связи, усиливающие и замедляющие, сильные и слабые. По характеру связи бывают равноправные, генетические, связи подчинения, управления; по месту приложения – внутренние и внешние, по направленности в системе – прямые и обратные. Особое место занимает обратная связь, как правило, замыкающая цепь. Ее наличию предшествует контроль состояния элементов.

Внутренняя структура системы определяется перемещениями потоков от одних элементов к другим (отношениями между элементами). Структура объекта (процесса, явления) отражает наиболее существенные взаимоотношения между элементами и их группами (подсистемами), которые мало меняются при изменениях в системе и обеспечивают существование системы и ее свойств. Структура - это совокупность элементов и соединяющие их связи. Структура является основой целостности системы и представляет собой мало изменяющуюся категорию. Структуру системы обозначают следующим образом Ст = Ст(E, R) .

Для задания системы используются описатели. Простейший описатель системы имеет вид Sисх =< E, R,Ст(E, R) >.

В зависимости от количества учитываемых факторов и степени абстрактности понятия «система» меняются ее описатели.

Пример 1.

Составим простейший описатель системы образования в России. В качестве элементов выберем основные образовательные институты, а связи определим как возможность перехода из одного в другой.

Элементы системы S определим множеством E ={ДШ, Ш,С, ВО}, где -

дошкольное воспитание; Ш -школа; С-среднее образование; ВО - высшее образование. Связи опишем графом.

ДШ Ш С

Структура системы имеет вид

1, если возможен переход из i − го элемента в j − тый где δij = 0, иначе

Т.о. система образования в России описана. Очевидно, что элементы сами являются крупными системами. Так дошкольное воспитание состоит из яслей, детского сада; школа включает в себя начальную школу, среднюю (до 9 класса), высшую (10-11 класс) и т.д. Т.е. выделенные элементы можно рассматривать как подсистемы. Более детальное описание системы имеет

вид.

S =< E, R, Ст(E, R) >

E ={ei }10i=1 , где e1 - ясли, e2 - детский сад, e3 - начальная школа, e4 - средняя, e5 -высшая школа, e6 -колледж, e7 - бакалавриат, e8 - магистратура, e9 -

специалисты.

Связи представлены на рисунке.

Матрица, описывающая структуру системы, выписывается по графу, аналогично рассмотренному выше случаю.

Пример 2.

Опишем с помощью простейшего описателя систему, соответствующую модели Леонтьева. Пусть i -порядковый номер «чистой»

отрасли, производящей продукт, j - потребляющий продукт (i, j =1,n ). Под

«чистой» понимается отрасль, выпускающая(потребляющая) один единственный продукт. Обозначим через

xi - валовой выпуск i -ой отрасли; y j -конечный продукт j-ой отрасли;

6

aij -количество (в стоимостном выражении) продукции i -ой отрасли,

необходимое для выпуска единицы продукции j-ого вида. Тогда модель Леонтьева может быть записана в следующем виде

y1

валовых выпусков, Y = ... - вектор конечного продукта, E - единичная

yn

матрица порядка n .

Элементами в данной задаче будут отрасли E ={1,..,n}. Связи определяются

Пример 3.

Составим простейший описатель системы, заданной оптимизационной задачей. Рассмотрим для простоты задачу линейного программирования,

Решим задачу графически.

Построим допустимое множество задачи Ω (точки данного множества удовлетворяют всем ограничениям). Найдем полуплоскость, заданную первым неравенством. Для этого построим прямую 3x1 + x2 =13. Данная

прямая проходит через точки A1 , A2

7

Точка (0,0) удовлетворяет неравенству (1) (0 ≤13), принадлежит искомой плоскости, значит, полуплоскость под прямой задается неравенством (1)

Аналогично строим области заданные неравенствами (2)-(4). Т.о. построено множество Ω. Допустимое множество - ABC , с вершинами A = (1,2), B = (1,3) , C = (2,2) .Найдем максимальное значение функции цели

f на данном множестве. Для этого построим любые две линии уровня

двигается вверх. Параллельным переносом будем сдвигать прямую до последней точке пересечения с множеством Ω. Решением задачи является

точка x* = B = (1,3) , максимальное значение функции цели на допустимом множестве f * = f (x* ) = 9 .

В данной задаче элементами являются вершины допустимого множества E ={A(1,2), B(1,3),C(2,2)}, связи задаются всеми неравенствами

R ={3x1 + x2 ≤13, x1 + x2 ≤ 4, x1 ≥1, x1 ≥1, x2 ≥ 2} ={(1) −(4)}

А структура системы – граница допустимого множества, т.е. неравенства, участвующие в образовании граничных точек ((2)-(4)), записываемые как равенства. Ст ={x1 + x2 = 4, x1 = 2, x2 =1}.

Т.о. построен простейший описатель системы (1)-(4).

Пример 4. Рассмотрим случай, когда описывается как система многомерная задача линейной оптимизации. Аналогично с предыдущем примером элементами будут вершины допустимого множества, связями – все

8

равенства и неравенства, которыми они связаны, а структурой – неравенства (записываемые как равенства), участвующие в образовании вершин допустимого множества.

Если переменных больше двух( n ≥ 3) и решать графически нельзя, предлагается следующий алгоритм нахождения вершин многогранника, заданного системой из m ≥ n неравенств:

1.Выписать все комбинации из n разных неравенств – получить Cmn систем неравенств.

2.Каждую систему неравенств записать как систему равенств и решить.

3.Если система разрешима, найти решение.

4.Проверить удовлетворяют ли найденные в п.3. точки неравенствам, не входящим в систему, из которой точка найдена.

5.Если точка удовлетворяет всем неравенствам, записать ее рядом с уравнениями, из которых она была найдена.

6.Найденные таким образом точки – элементы системы.

7.Структура состоит из уравнений, около которых записано не менее n точек. (Грани многогранника описываются уравнениями. Уравнение плоскости, в которой лежит грань с числом точек меньше n,

избыточно).

Рассмотрим построение простейшего описателя системы для следующей задачи

f (x) → extr

Решение системы (1)-(3) (с заменой знаков неравенств на равенства) - точка A1 (0,16,−2) . Проверим выполнение ограничения (4): x2 =16 ≥ 0 .Запишем A1

в таблицу1, в строки, соответствующие ограничениям (1)-(3) . Решением системы уравнений (1),(2),(4) является точка A2 (20,0,10) , удовлетворяющая

неравенству (3): x1 = 20 ≥ 0 . Из двух других систем уравнений, находим точки A3 (0,0,30), A4 (0,0,10) , удовлетворяющие неравенствам, не входящим в системы из которых они найдены.

9

Задачи

1.Постройте простейший описатель системы управления университетом: выделите элементы (ректор, проректоры…), связи, задайте структуру, подсистемы.

2.Опишите как систему карту дорог Воронежской области: опишите элементы, связи, структуру. Выберите не менее 7 населенных пунктов, а также учтите разные виды дорог (асфальтированная, грунтовая, железная дорога).

3.Представьте устройство компьютера в виде простейшей системы. Выделите не менее 9 элементов, определите различные типы связей (прямые, обратные, нейтральные, связи управления), подсистемы и связи между ними, опишите структуру системы.

4.Три отрасли выпускают продукцию, известна матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта

Составьте модель Леонтьева, опишите систему.

5.Четыре отрасли выпускают продукцию, известна матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта

Составьте модель Леонтьева, опишите систему.

6.Составьте простейшие системные описатели следующих оптимизационных задач

10