Основы теории систем и вычислительные схемы системного анализа

b = 12 . Выпуск каждого вида продукции должен составлять не менее двух

7

единиц, т.е. A1 ≥ 2, A2 ≥ 2 . Затраты времени на производство единицы

продукции t = (1,2). Необходимо выпустить продукцию, минимизировав трудовые затраты. Составьте модель решения задачи и выпишите простейший описатель системы для полученной оптимизационной задачи.

5

b = 8 .Требуется найти максимальный выпуск продукции при

8

использовании данных ресурсов. Составьте модель решения задачи и выпишите простейший описатель системы для полученной оптимизационной задачи.

10. Кондитерская фабрика выпускает шоколадные конфеты двух видов. Для выпуска используются два основных продукта: какао-порошок и какаомасло, имеющиеся на предприятии в объеме 14 и 10 ц. Затраты продуктов на

11

вида должно быть выпущено не менее 1 ц, а 2-го – не менее 2 ц. Описать модель отыскания оптимального плана выпуска. Составить простейший описатель системы.

11. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 т. Производится два вида удобрений: аммиачная селитра и аммиачная вода. Для их производства используется аммиак, расход которого не должен превышать 8 т. Суммарные капиталовложения в производство не должны превышать 42 тыс.руб. Технологические нормы материальных затрат, удельные капиталовложения, себестоимость даны в таблице

Определить план производства селитры и аммиачной воды с наименьшими суммарными затратами. Выписать простейший описатель системы.

12. На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также

Построить математическую модель для определения того, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была максимальной. Выписать простейший описатель системы.

13. Для производства 3-х видов продукции используется 3 вида сырья и трудовые ресурсы. Запасы сырья: 100, 200, 150. Матрица затрат сырья на

12

затрат трудовых ресурсов t = (1,2,1) . Минимальная потребность в каждом виде продукции задана вектором A = (125,120,135) . Выписать простейший описатель системы.

1.2. Функционирование целевых систем: понятие, описатели, примеры.

Система называется функционирующей, если на нее оказывает влияние внешняя среда и если система, в свою очередь, передает во внешнюю среду поток, который соответствует сущности (миссии) системы. Для описания функционирующей системы необходимо ввести характеристики, связывающие систему с внешней средой. К ним относятся – входы и выходы системы, а также передаточная функция.

Обозначим через X - набор входных переменных, X GX , X = ( X u , X s ) , X u -управляемые переменные; X s - случайные переменные.

функция системы – оператор, позволяющий рассчитывать выходную переменную Y , Y GY , Y = F( X , Z ) . Система функционирует, если она

переходит из одного состояния в другое.

Описатель функционирующей системы имеет вид

SФ =< Sисх; X ;Y ; F( X , Z ) >.

Если сформулирована цель работы системы, то говорят о целевой функционирующей системе. Вводится функция цели Ф( X , A) , и описатель

системы принимает вид

Sц =< SФ,Ф( X , A) >,

здесь A - параметры внутренних характеристик системы, A GA . Причем,

передаточная функция обобщается и зависит не от состояний системы, а от внутренних параметров Y = F( X , A) .

Каждой функционирующей системе можно поставить в соответствие модель, которая состоит в отыскании такого входного потока X и значений характеристик A, при которых цель будет достигать своего «наилучшего»

значения extrФ( X , A). Модель целевой функционирующей системы имеет

X , A

вид

extrФ( X , A)

X , A

Y = F( X , A)

13

XGX

YGY

A GA

Модель считается разработанной, если определены множества GX ,GY ,GA , а

также X , Y и A.

Компоненты входного потока системы могут быть разнородными, измеряться в различных шкалах или единицах измерения. Чтобы учесть возможность разнородности компонент, необходимо произвести их фильтрацию с помощью фильтрующего устройства (δ ), с последующим интегрированием чистых потоков. Объединение (суммирование) потоков происходит в сумматоре (ς ), затем выходной поток направляется во

внешнюю среду распределителем ρ . Такая система называется

элементарным преобразователем.

Схема 1. Элементарный преобразователь

Если система способна переходить из одного состояния в другое, то говорят, что она обладает поведением. Поведение системы во многом зависит от состояния внешней среды – множества элементов, не входящих в систему, изменение состояния которых меняет поведение системы.

Рассмотрим переход системы из одного состояния в другое. Пусть известен вектор начальных состояний Z0 . Обозначим ν - порядковый номер

состояния, ν =1,.., M ; hν - вектор влияния внешней среды на систему, тогда

поведение системы определяется следующим образом

Zν =ϕ(Zν −1, hν , Aν , Xν ) .

Т.о. состояние системы зависит от предыдущего состояния, от влияния окружающей среды, внутренних характеристик системы и входного потока.

Важным свойством систем является способность находиться в состояние равновесия, т.е. при отсутствии внешних возмущающих воздействий сохранять свое состояние сколь угодно долго. Пусть на вход

системы подается поток X 0 и F( X 0 , A) =Y 0 . Точка X 0 называется точкой равновесия, если при ее изменении на X , точка выхода Y 0 + Y :

lim (Y 0 + Y ) =Y 0 .

X →0

Когда переход к новому состоянию не меняет выходной поток, говорят об устойчивости системы. Целевые системы называются устойчивыми, если из принадлежности входа определенному множеству X Gδ , следует, что

14

изменение выходного потока будет лежать в пределах заданного множества выходных потоков Y Gε . Под устойчивостью понимается способность

системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была выведена из него под влиянием внешних возмущающих воздействий.

Пример 1.

Модель Леонтьева, с известной матрицей затрат A и конечным продуктом Y , представим как функционирующую систему и выпишем ее описатель.

Модель Леонтьева в матричном виде (E − A)X =Y , перепишем в виде X = (E − A)−1Y . Т.о. входной поток – вектор конечного потребления (Y ),

Допустимое множество данной задачи и линии уровня функции цели представлены на рисунке.

Решение x* = (6,1) , f * = f (x* ) = 7. E ={A(0,3), B(0,4),C(6,1)},

R ={x1 + 2x2 ≤ 8,−2x1 + x2 ≤ 4, x1 +3x2 ≥ 9, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, Ст ={x1 + 2x2 = 8,−2x1 + x2 = 4, x2 = 0}.

15

Определим теперь входы и выходы системы. В общем виде данную задачу можно записать следующим образом

cX → max

AX ≤≥ b X ≥ 0 ,

являются А,b, c , выходы – решение задачи x* , f * , передаточная функция –

процесс решения задачи, например, в линейном случае, это может быть симплекс-метод (с-м). Получаем следующий описатель системы

Приведем схему функционирования описанной системы

Следует заметить, что если решается задача, сводящаяся к оптимизационной, например, поиск оптимального ассортимента выпуска продукции с использованием ресурсов (задача 7 1.1), часть параметров описанных выше как входные, могут считаться состояниями (внутренними характеристиками) системы, например, матрица A характеризует технологический процесс и является внутренней характеристикой системы. В случае изменения состояний системы на схеме появляются обратные связи.

Задачи

1. Две отрасли, конечный продукт которых составляет 120 и 70 единиц производят продукцию. Затраты на производство заданы матрицей

отраслей, выпишите описатель функционирующей системы.

2. Три отрасли, конечный продукт которых 100, 200 и 150 единиц производят продукцию. Затраты на производство заданы матрицей

выпуск отраслей, выпишите описатель функционирующей системы.

16

3.Составьте систему формирования валовых выпусков территориального экономического объекта, если рассматриваются 3 отрасли, конечный

Выписать модель Леонтьева, составить простейший описатель системы, описать функционирование данного объекта с помощью схемы и описателя.

4. Составьте описатели функционирующих систем a)-г) в задаче 6 §1.

5. Проверьте, в каком из приведенных состояний входных параметров ( A,b, c ), значения выходных параметров ( x* , f * ) для задачи из

примера 2 п.1.2, не изменится. А также определите, возможен ли переход в новое состояние. В оптимизационных задачах будем считать, что переход в новое состояние возможен, если значение функции цели улучшается на оптимальном плане при решении задачи с учетом нового состояния системы.

6.Описать как функционирующую систему процесс решения следующей оптимизационной задачи

2x1 +3x2 → max

2x1 + x2 ≤10

−2x1 +3x2 ≤ 6

−2x1 + 4x2 ≥ 0 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

17

7.Рассматривается производство 3 продуктов с использованием 3 ресурсов. Производственные процессы описываются моделью Леонтьева. Матрица

Определить в какое из 3 состояний возможен переход.

Замечание. В данной задаче состояния характеризуются векторами конечного продукта, при этом переход в новое состояние возможен, если трудовые затраты ( ∑ti xi ) не увеличатся.

i

1.3. Динамические системы: сущность, структура, классификация, способы описания. Система как черный ящик.

Систему будем называть динамической, если параметры, характеристики, переменные, которые используются при ее описании, либо в явном виде зависят от времени, либо являются дискретными, меняющимися во времени величинами. При описании динамических систем вводится системное время t [t0 ,T ], t0 - начальное время; T - горизонт системного

времени.

Описатель динамической системы имеет вид

St =< Sисх;(t0 ,t,T );( X t ,GX );(U t,Gu );(Yt = F(Z(t))) >,

где

Sисх - простейший описатель системы, содержащий элементы, связи и структуру системы;

X t - входной поток, заданный на множестве GX ;

U t - величина входа внешней среды, Gu - множество состояний, определяющее рамки, в которых система может существовать;

Yt - выходной поток, рассчитываемый с помощью передаточной функции F , зависящей от вектора состояний Z(t): Z (t) = H (Z (t −1), X t ,Ut ) . Начальное состояние системы Z (t0 ) считается заданным.

18

Yt → max , t

Yt = F(z(t))

z(t) = H (z(t −1), X t ,Ut )

X t GX , Ut GU z(t0 ) = z0 , U (t0 ) =U 0 t = t0 ,..,T .

В качестве функции цели чаще всего рассматривают некоторый обобщенный критерий:

1) minYt → max

t

T

2) ∑λtYt → max , λt - коэффициент предпочтения временного

t =t0

периода t .

Решением данной задачи является вектор состояний системы z* (t) , t = t0 ,..,T , определяющий траекторию развития динамической системы.

При построении модели в виде задачи оптимального управления,

необходимо знать закон, по которому происходит изменение величины z(t) : z&(t) = f (x(t), z(t −1),u(t)).

z(t0 ) , u(t0 ) - начальное состояния и начальное управление. Здесь z(t) - фазовая переменная, u(t) - функция управления.

Функция цели

T

∫ϕ(z(τ))u(τ)dτ → max ,

t0

где ϕ(z(τ)) - функция качества, оценка состояния. Функции ϕ ,u полагаются

такими, что интеграл существует.

Для решения задачи управления используется принцип максимума Понтрягина. На основе задачи управления строится функция Лагранжа, выписывается нормальное уравнение и получается нормальная система. После решения системы определяется точка, которая является необходимой точкой, доставляющей максимум функции цели.

Система как черный ящик

Рассмотрим функционирующую систему, реализующую свою миссию, для которой определены входы, выходы, но неизвестен закон преобразования входов в выходы, неизвестна передаточная функция. Для управления такой системой необходимо найти вид передаточной функции. С

этой целью создается статистика накопления входных потоков ˆ и {X }

соответствующих им выходных потоков ˆ , т.е. история протекания

{Y}

процессов. Именно по этой информации восстанавливается аналитический вид функции Y = F( X ) .

20