Основы теории систем и вычислительные схемы системного анализа

Алгоритм управления сложной экономической системой.

внешней среды, X - вход (регулярное воздействие внешней среды). На выходе системы оценивается не только произведенный продукт Y , но и

состояние системы W =φ(Y ,ξ2 ).Y ' = F( X ,U,W ) - выход системы, рассчитанный по модели объекта управления.

1.внутренние производственные возможности ОУ;

2.конкурентоспособность выпускаемой продукции;

3.производительность труда на предприятии;

4.объем выработки, приходящейся на одного работника;

5.физический объем всей выпускаемой продукции;

6.стоимостной объем выпускаемой продукции в действующих ценах

n

∑pˆ j y j ;

j =1

7. затраты на рубль товарной продукции

n

∑c j y j

j =1 .

n

∑pˆ j y j

j =1

2.3.Основная формула теории управления с обратной связью и ее приложения. Мультипликатор Кейнса.

Пусть обратная связь осуществляется с коррекцией сигнала на основе дополнительного элемента системы - регулятора (корректора) R .

31

зависящие от времени, R, S - нелинейные, гладкие функции. Нелинейная зависимость сводится к основной теории в терминах производной.

Т.о. для нелинейной зависимости мы получаем аналоговую формулу теории управления с обратной связью для скоростей изменения входного и выходного потоков( x, y ).

Мультипликатор Кейнса.

Рассмотрим систему, состоящую из объекта управления (ОУ), субъекта управления (СУ) и внешней среды.

внешняя среда

Из внешней среды в ОУ под наблюдением СУ направляются ресурсы в размере x , а также неизвестное ОУ случайное воздействие со стороны внешней среды ξ , U - входной поток от СУ к ОУ.

Пусть на ОУ поступают определенные финансовые ресурсы Ф, которые используются на накопление (капиталовложение) K и потребление

увеличиваются при увеличении инвестиций Ф = λ K , λ ≥1 - величина

33

прироста финансового ресурса приходящегося на единицу прироста

где μ = ФQ - предельная склонность к потреблению, доля прироста

потребления во всем приросте финансов.

Т.о. μ →1,λ → ∞, т.е. увеличивая долю потребления, мы повышаем

мультипликатор Кейнса. Схема системы имеет вид

Схема 9. Мультипликатор Кейнса

Т.о. основная формула теории регулирования (1) в данном случае записывается

Пример 1. Рассмотрим экономическую систему, в которой предполагается, что экономический цикл повторяется неограниченное число раз. Кроме того, в каждом периоде инвестиции постоянны и равны K , а потребление составляет постоянную долю ( μ) от конечного продуктаY , произведенного в

предыдущем периоде.

Y0 = K ,

Тогда предельный прирост конечного продукта рассчитывается по основной

Данная модель предложена Каном и Кларком.

Пример 2. Рассмотрим модель Леонтьева в матричном виде (E − A)−1Y = X .

Очевидно, что функционирование экономической системы, описываемой моделью Леонтьева, может быть представлена следующей схемой с контуром

34

X = (E − A)−1Y = (E + A + A2 +... + An +...)Y = BY ,здесьB -матрица

полных затрат.

Пример 3.

Выпишем модель, соответствующую сформулированной задаче.

к потреблению (доля прироста потребления в приросте финансовых средств). Пример 4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

Обозначим T - подсистему из усилителей R1, R2 , тогда для системы T

является регулятором и, согласно основной формуле теории регулирования, получаем

Задачи

1.Рассматривается система с контуром. Коэффициент усиления входного сигнала S = 2 . Каким должен быть усилитель R , чтобы входной сигнал усиливался в 100 раз.

2.Необходимо с помощью контура усилить сигнал в k раз, при этом плата за усиление в системе S равна a , в регуляторе - b . Каковы оптимальные усиления S иR . (Замечание: считается, что a ,b , k -заданные параметры).

3.Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой

5. Рассчитайте предельную склонность к потреблению и мультипликатор Кейнса по модели Лурье для отрасли «Сельское хозяйство» Воронежской области, если известны следующие характеристики отрасли.

36

§3. Моделирование экономических процессов как основа эффективной организации сложных систем.

3.1.Основные понятия и факты.

Экономико-математическое моделирование понимается как направление экономической теории, изучающее закономерности построения анализа, интерпретации и применения для решения практически важных задач особых объектов, являющихся образами экономических процессов или явлений. Экономические объекты, процессы или явления будем впредь называть оригиналами. Моделирующее отображение оригиналов представимо в виде композиции двух отображений — огрубляющего и гомоморфного. Сначала огрубляющее отображение выделяет в исходном объекте её составную часть с меньшим числом элементов и связей между ними, а затем гомоморфное отображение переводит подсистему в модель, при этом может произойти дальнейшее огрубление, т. е. число элементов и связей в модели может стать меньше, но при этом не происходит искажения структуры или иных характеристик, сохраняющих сущность оригинала. Итак, иногда модель – это упрощенный образ оригинала, который в процессе изучения замещает оригинал, сохраняя при этом важные для данного изучения, типичные его черты. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией модели. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной» структурой, что делает исследование модели более легким, чем исследование оригинала. Существует много иных дефиниций понятия - «модель», «моделирование». Наиболее известным и используемым многими исследователями является следующее определение.

Моделью называется объект искусственно созданный или реально существующий, который с заданной степенью схожести воспроизводит оригинал так, что позволяет получить новую информацию об оригинале.

Моделирование-исследование оригинала с помощью модели. Разработка модели т.о. составляет этап сложного процесса, который

содержит и иные этапы – анализ модели, проверка её адекватности оригиналу, выбор исходной информации и проверка её достоверности. Приведем следующую классификацию моделей.

По типу реализации различаются материальные и знаковые модели. Под материальным моделированием понимают моделирование, при котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные функциональные, динамические и геометрические характеристики изучаемого объекта. При этом выделяют физическое и аналоговое моделирование. Физическим называется моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его уменьшенная или увеличенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях, с последующим переносом свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих разную физическую природу, но одинаково описываемых формально (схемами, уравнениями и т.п.).

37

передаточная функция. Выражение (*) может быть переписано в виде:

x( t0 ) = x0 .

Описанные выше модели называются балансовыми. Весьма распространены модели скалярной оптимизации, векторной оптимизации и теоретико-игровые. Их вид приведен ниже.

В зависимости от свойств разрешающего оператора F математические модели динамичных систем классифицируются по разным признакам. Модель называется аналитической, если для оператора F найдено точное аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояния x0 в любой нужный момент t.

В подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического выражения для разрешающего оператора F оказывается затруднительным или в принципе невозможным. Если совокупность уравнений и неравенств непротиворечива (среди них нет взаимоисключающих) и полна (т.е. она содержит всю необходимую информацию для нахождения решений) и, с помощью ЭВМ, удается найти их численное решение, в результате чего получается реализация оператора F в виде машинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения

случае мы имеем имитационную модель.

В детерминированной модели значения переменных выражения (*) не меняются во времени. Стохастическая модель каждой переменной x ставится в соответствие с распределением возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое

ожидание , среднее квадратическое отклонение σ(x i ) и т. п.

39

Дискретная модель описывает поведение системы на фиксированной последовательности моментов времени. В непрерывной модели значения переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t рассматриваемого интервала [t0 ,T0 ].

По характеру описания пространственного строения систем модели делятся на точечные, в которых пространственное строение системы не рассматривается, т. е. в качестве переменных фигурируют зависящие только

от времени переменные , и пространственные, в которых

переменные зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Важное место среди методов моделирования занимает структурное представление процессов и явлений. Его мы будем называть структурным моделированием. В следующем параграфе мы рассмотрим сущность структурного моделирования и приведем пример структурно-логической модели.

Разработка экономико-математических моделей – многоэтапный процесс. Основными этапами процесса разработки моделей являются: постановка задачи, концептуализация, спецификация, идентификация, реализация модели, проверка адекватности модели, исследование (анализ) модели, оптимизация, заключительный синтез.

Рассмотрим содержание каждого из этих этапов.

1. Постановка задачи. Формулирование цели и выделение в изучаемом оригинале конечного числа свойств и процессов, наиболее существенных для решения поставленной задачи и необходимых, по мнению исследователя (разработчика модели), для достижения цели. Задание степени сходства модели и оригинала. Суть данного этапа состоит в том, чтобы ограничить и конкретизировать число возможных направлений и аспектов изучения оригинала.

2.Концептуализация. На этом этапе необходимо построить концептуальную модель изучаемого оригинала. Устанавливаются его внешние “входы” и “выходы”, определяется состав, структура и некоторые особенности функционирования. Состав оригинала представляется множеством его внутренних неделимых частей и непосредственно взаимодействующих с ними элементов окружающей среды. Структурой называется совокупность всех связей между этими элементами. Под функционированием оригинала понимается процесс изменения свойств его элементов во времени под воздействием внешних факторов и в результате взаимодействий между внутренними элементами.

3.Спецификация. Здесь определяются составы множества входных

40