§ 2. Понятие игры. Классификация игр

Теорией игр называется математическая теория принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях. Поясним это определение. Простейшие модели принятия решений рассматриваются в курсах математического анализа и оптимизации. В этих моделях лицо, принимающее решение (ЛПР), выбирает свое действие из некоторого множества стратегий. Считается, что задана целевая функция, которая отражает интересы ЛПР и зависит от выбранной им стратегии. Задача принятия решений в такой постановке состоит, как правило, в том, чтобы найти стратегию, доставляющую максимум целевой функции. Отличие конфликтной ситуации заключается в том, что решения принимаются не одним индивидуумом, а несколькими участниками, и функция выигрыша каждого индивидуума зависит не только от его стратегии, но также и от решения других участников.

Математическая модель такого рода конфликта называется игрой, а участники конфликта – игроками. Таким образом, игра – это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько индивидуумов (участников, игроков) влияют на ситуацию, причем их интересы (выигрыши при различных возможных ситуациях) различны.

Игры можно классифицировать по следующим признакам:

1. По возможности ведения игроками предварительных переговоров игры делятся на:

1. бескоалиционные игры (игроки действуют самостоятельно, независимо друг от друга, и если какие-то соглашения заключаются, то они не являются обязывающими);

2. кооперативные (коалиционные) игры (игроки объединяются в коалиции в предположении, что существует механизм, обеспечивающий выполнение совместного принятого решения).

2. По свойствам выигрыша различают:

1. антагонистические игры (выигрыш одного игрока равен проигрышу второго);

2. неантагонистические (с ненулевой суммой) игры.

2. По характеру получения информации выделяют:

1. игры в нормальной форме (игроки получают информацию до начала игры);

2. динамические игры (игроки получают информацию в процессе развития игры).

2. По числу стратегий игры делятся на:

1. конечные (множество стратегий каждого из игроков конечно);

2. бесконечные (множество стратегий хотя бы одного из игроков бесконечно).

§ 3. Антагонистические игры в нормальной форме

3.1 Определение антагонистической игры в нормальной форме. Матричные игры

Рассмотрим игру, в которой принимают участие два игрока ­­– P1 и Р2. Первый игрок выбирать любое действие (стратегию, чистую стратегию) x из множества допустимых стратегий X, а второй игрок соответственно стратегию y из множества Y. Пара называетсяситуацией (а также в дальнейшем ситуацией в чистых стратегиях).

Для каждого игрока задана функция выигрыша ставящая в соответствие каждой ситуации(x,y) величину выигрыша i-го игрока , полученную в данной ситуации. При этом будем считать, что интересы игроков противоположны, то есть выигрыш первого игрока равен проигрышу второго. Тогда функцию выигрыша первого игрока (проигрыша второго) будем обозначать как, где.

Полагаем, что каждый игрок знает до начала игры информацию о множествах стратегий и функциях выигрыша.

Определение 1. Система , гдеX, Y – непустые множества стратегий первого и второго игроков соответственно, – функция выигрыша первого игрока (проигрыша второго), называетсяантагонистической игрой в нормальной форме (игрой с нулевой суммой).

Определение 2. Антагонистическая игра, в которой множества стратегий игроков являются конечными множествами, называется матричной игрой.

Пусть m – количество стратегий игрока 1, тогда . Аналогично,n – число стратегий P2, . В этом случаеоднозначно определяется заданием матрицы, где– величина выигрышаP1 (проигрыша Р2) при условии, что Р1 выбрал стратегию а Р2 стратегию