8.Основные теоремы теории вероятностей.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.Формула Пуассона.

Теорема сложения вероятностей.Вероятность наступления случайного события А или несовместимого с ним события В равна сумме вероятностей этих событий :Р(А илиВ)=Р(А)+Р(В)

Теорема умножения вероятностей для независимых событий . Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В \равна произведению вероятностей этих событий: Р(А илиВ)=Р(А)·Р(В)

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий .Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятностей события А на условную вероятность события В: Р(А или В)=Р(А)·Р(В/А)

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна: , где .

Формула Бернулли удобна для вычислений исключительно при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться ϶ᴛᴏй формулой неудобно. Чаще всего в данных случаях используют формулу Пуассона. Кстати, эта формула определяется теоремой Пуассона.

Отметим, что теорема. В случае если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна

,(3.4)

где .

9.Дискретные случайные величины.Закон распределения дискретной случайной величины.Основные числовые характеристики дискретнойслучайной величины и ее свойства.

х	8	9	10	11	12
р	0,2	0,2	0,3	0.1	0,2

Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т.е такое множество, все элементы которого могут быть пронумерованы и выписаны соответствующей последовательности. Пример: Имеется десять студенческих групп , насчитывающих соответственно 12,10,8,10,9,12,8,11,10 и 9 студентов. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Решение: Возможными значениями рассматриваемой случайной величины Х являются 8,9,10,11,12. Вероятность того , что наугад выбранной группе окажется 8 студентов, равна P₁=P(X=8)=2/10=0,2 Аналогично можно найти вероятности остальных значений случайной величины Х: p₂₌P(X=9)=0,2 p₃=P(X=10)=0,3 p₄=P(X=11)=0,1 p₅₌P(X=12)=0,2. Таким образом, искомый закон распределения: Закон распределения дискетной случайной величины- это соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для описания определенных особенностей дискретной случайной величины используют ее основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Св-ва математического ожидания: 1) Математич. ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине М(С)=С; 2) Математич. ожидание произведения постоянного множителя на дискретную случайную величину равно произведению этого постоянного множителя на математическое ожидание данной случайной величины: M(kX)=kM(X); 3) Математич. ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(X+Y)=M(X)+M(Y);

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.

Св-ва дисперсии: 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C)=0; 2)Дисперсией любой величины есть число неотрицательное: D(X)≥0; 3) Дисперсия произведения постоянного множителя 3) Дисперсия произведения постоянного множителя k на дискретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX)=k²*D(X).

Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии : σ(х)= √D(X)