3.Дифференциал функции.Аналитический и геометрический смысл дифференциала
Дифференциалом
функции 
в 
называется
главная, линейная относительно 
,
часть приращения функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции является приращением ординаты касательной( АВ), которое соответствует приращению х (МВ) абсциссы. В этом заключается геометрический смысл дифференциала.
Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал dу представляет собой главную часть приращения функции. При малых приращениях можно считать dу у
4.Первообразная функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
1.Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл. Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x)на отрезке [a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящей от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом: a ∫bf(x)dx= limIn = lim∑f(ci) ∆xi max ∆xi →0 max ∆xi→0i=1
Формула Ньютона-Лейбенца. Величина определенного интеграла от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке: a∫bf(x) dx= F(x) a│b = F(b)- F(a) Свойства определенного интеграла. 1. Определенный интеграл с равными пределами равен нулю: b∫af(x) dx= 0 2. При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную: a∫bf(x) dx= - b∫af(x)dx 3. Если отрезок интегрирования [a,b] разделен на конечное число nчастичных отрезков [a,x1], [x1,x2],…..,[xn-1,b], то определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b]равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков (свойств аддитивности): a∫bf(x) dx= a ∫x1 f(x) dx + x1∫x2+ …….xn-1∫bf(x) dx 4. a∫bkf (x)dx = ka∫bf(x) dx , где k- постоянный множитель 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на отрезке [a,b], равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций на данном отрезке : a∫b[f1(x)+f2(x)+….+fn(x)]dx =a∫bf1(x)dx+a∫bf2(x)dx +…..a∫bfn(x)dx Геометрический смысл определенного интеграла. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y=f(x), снизу –осью абцисс, слева-прямой линиейx=a, а справа – прямой линией x=b, называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осенью абцисс и прямыми линиями x=a и x=b,численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке[a,b]. В этом и заключается геометрическая интерпретация .
6.Понятие дифференциального уравнения. Порядок уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, алгоритм их решения. Понятие дифференциального уравнения. Уравнение, в общем случае связывающее искомую функцию y=f(x), ее аргумент x, а также производные различных порядков этой функции , называется обыкновенным дифференциальным уравнением. F( x, y, y', y'',……,y(n))=0 Порядок уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения. Порядком дифференциального уравненияназывается порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Общим решениемдифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения. В отличие от общего решения дифференциального уравнения его частным решениемназывают всякую функцию, удовлетворяющую данному уравнению, но не содержащую произвольных постоянных. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, алгоритм их решения. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано , в виде F(x, y, y')=0 Несмотря на кажущуюся простоту уравнений данного типа, не существует универсальных методов их аналитического решения. Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменным называется уравнение, которое может быть представлено в виде u1(x) v1(y)·y'+u2(x)v2(y)=0 где u1(x)≠0 и v1(y)≠0 Решением этого уравнения основано на разделении переменных, а именно на преобразовании уравнения к такому виду, когда искомая функция yи ее дифференциал dy представлены только в одной части уравнения, а аргумент x и его дифференциал dx– только в другой.