1.Задачи ,приводящие к понятию производной:

а)о скорости движения материальной точки

б) об угле наклона касательной к графику функции

А.Пусть некоторая материальная точка совершает прямолинейное движение. В момент времени t1 точка находится в положении М1. В момент времени t2 в положении М2. Обозначим промежуток М1,М2 через S ; t2-t1= t. Величина S/ t называется средней скоростью движения. Чтобы найти мгновенную скорость точки в положении М1 необходимо t устремить к нулю. Математически это значит , что

,

Таким образом , для нахождения мгновенной скорости материальной точки необходимо вычислить предел отношения приращения функции S к приращению аргумента t при условии ,что t →0

Б. Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то есть

.

Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет мгновенную скорость химической реакции.

Пусть функция определена на промежутке X, точка X, дадим ей приращение , величина называется приращением аргумента. В каждой из этих точек посчитаем значение функции и . Тогда можно говорить о приращении функции .

2.Производная функции.Геометрический и механический смыслы производной.Производные основных элементарных функций.Производная сложной функции.

Производной функции у=ƒ(х) β точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из  данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х₀ обозначается одним из символов: ƒ'(х₀), у'|_x=xo или у'(х₀).

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ): 

видно, что для любых двух точек A и B графика функции: 

где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + ) - x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  /  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).