3курс, VIсем.Волков,Ягола инт ур
.pdfЕсли бы h1 (x), |
h2 (x) были бы независимыми, то мы получили бы систему уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||
Эйлера. Однако |
h1 (x), h2 (x) |
подчиняются (по крайней мере, для малых t) уравнению |
||||||||||||||||||||||||||
связи |
|
|
|
|
|
|
Φ[x, y + th1 , z + th2 , y′+ th1′, z′+ th2′]= 0 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h2 (x) через h1 (x) . |
|||||||||||||||||||||
Получим |
|
уравнение, |
решая |
которое, |
мы |
|
сможем выразить |
|||||||||||||||||||||
Продифференцируем записанное выше равенство по |
t |
|
и положим |
t = 0 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dΦ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
t =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Φy h1 +Φy′h1′ +Φz h2 +Φz′h2′ = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Так как Φz′ ≠ 0 , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φy |
|
|
Φy′ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h2′ = − |
Φ |
|
|
|
|
|
|
h1′. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
h2 − |
|
|
h1 − |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
Φ |
z′ |
Φ |
z′ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначив |
a |
|
= − |
Φ |
z , a |
= − |
Φy |
|
, |
b = − |
Φy′ |
, |
|
получим следующую задачу Коши для |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
Φz′ |
|
|
1 |
|
|
Φz′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Φz′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
отыскания |
h2 (x) |
при условии, что |
h1 (x) задано: |
+b h′); |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h′ |
= a |
h +(a h |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 (a) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение, |
которому удовлетворяет h2 (x) , |
является линейным дифференциальным |
уравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения хорошо известно из курса дифференциальных уравнений и может быть найдено, например, методом вариации постоянной. Получите самостоятельно это общее решение и покажите, что решение задачи Коши имеет вид
x |
+b1h1′)exp |
x |
|
|
h2 = ∫(a1h1 |
|
∫a2dη |
dξ. |
|
a |
|
|
ξ |
|
Итак, мы выразили h2 (x) через h1 (x) . Подставляя это выражение во второй
интеграл в формуле для вариации, после простых преобразований (изменение порядка интегрирования по x и ξ ) получаем
a |
d |
|
x |
|
x |
|
a |
b |
d |
|
x |
|
|||
∫ Fz − |
|
Fz′ dx∫(a1h1 |
+b1h1′)exp |
|
∫a2dη |
dξ = ∫(a1h1 |
+b1h1′)dξ∫ Fz − |
|
Fz′ exp |
|
∫a2dη |
dx |
|||
dx |
dx |
||||||||||||||
b |
|
a |
|
|
ξ |
|
b |
ξ |
|
|
ξ |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
∫( |
a h |
|
+b h |
γ (ξ)dξ = |
∫ |
a γ − |
|
( |
b γ |
) |
h dξ, |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
1 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
1 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
γ (ξ) = ∫ |
Fz − |
|
|
|
|
Fz′ exp |
|
∫a2dη |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Переобозначив переменную интегрирования ( x вместо ξ ), окончательно получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δV = ∫ |
Fy |
− |
|
|
|
|
Fy′ + a1 γ − |
|
|
(b1γ ) |
h1 (x) dx = 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
x |
|
Φ |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
γ (x) |
= |
∫ |
|
F |
− |
|
|
|
|
F |
|
exp |
∫ |
|
|
dη |
dξ . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
dξ |
z ' |
|
|
|
Φz ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
По основной лемме вариационного исчисления:
70
|
|
|
F |
|
− |
|
|
d |
F |
′ + a |
γ − |
d |
|
|
(b |
γ) = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вспомнив, что |
a = − |
Φy |
, b = − |
Φy′ |
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
Φz′ |
1 |
|
|
Φz′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a1γ − |
|
d |
|
(b1γ ) = − |
Φy |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Φy′ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
γ |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
dx |
Φz′ |
|
dx |
Φz′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Обозначим λ(x) = − |
γ (x) . Очевидно, что λ(x) - дифференцируемая функция. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
Φz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a γ − |
|
(b γ ) = λΦ |
y |
− |
(λΦ |
′) , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||
и равенство нулю вариации приводит к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F |
− |
d |
F |
′ +λΦ |
y |
− |
d |
|
(λΦ |
′) = 0 , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
y |
|
|
|
dx |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
+λΦ |
y |
− |
|
(F |
′ +λΦ |
y |
′ ) = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили первое из уравнений Эйлера, фигурирующих в условиях теоремы. Перепишем второе уравнение таким образом:
|
d |
(λΦ |
|
) = |
|
Φz |
|
(λΦ |
|
) + |
F |
− |
d |
F |
|
||||||||
|
|
z′ |
|
|
|
|
z′ |
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
dx |
z′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Φz′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим это уравнение как уравнение относительно |
|
λΦz' . |
Тогда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
x |
Φ |
z |
|
|
|
|
|||
λΦ |
z |
′ = |
∫ |
F |
− |
|
|
F ′ |
|
exp |
∫ |
|
dη |
dξ |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
dξ |
|
z |
|
|
|
Φz′ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
является его решением. Сравнивая полученное выражение с выведенной ранее формулой γ (x) = −λΦz′ , получаем, что второе уравнение из системы уравнений Эйлера тоже
выполнено. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь задачу с голономной связью. Требуется найти экстремум функционала
b
|
|
|
′ ′ |
|
|
|
|
V[ y, z] = ∫F (x, y, z, y , z )dx |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
при выполнении граничных условий |
|
|
|
||
|
|
y(a) = y0 , y(b) = y1; |
|
|
|
|
|
z(a) = z0 , |
z(b) = z1 |
|
|
и уравнения связи |
Φ(x, y, z) = 0 . |
|
|
|
|
Граничные |
условия |
нельзя считать |
независимыми, |
поскольку Φ(a, y0 , z0 ) = 0 и |
|
Φ(b, y1 , z1 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
Как и ранее, введем функцию H = F +λ(x)Φ и функционал |
|
||||
|
|
b |
′ ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫H (x, y, z, y , z ) dx . |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
В отличие |
от задачи с неголономной связью, |
теперь Φz′ ≡ 0. |
Поэтому |
||
предположим, что Φz ≠ 0 . |
Система уравнений Эйлера в данном случае имеет вид: |
71
(Fy
(Fz
+λΦy ) − dxd Fy′ = 0;
+λΦz ) − dxd Fz′ = 0.
Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами и голономной связью).
Пусть:
1)функции y(x) и z(x) реализуют экстремум в поставленной выше задаче с голономной связью и дважды непрерывно дифференцируемы;
2)функция F непрерывна со своими частными производными до второго порядка включительно;
3)функция Φ непрерывна со своими частными производными, причем Φz ≠ 0 .
Тогда существует непрерывная функция λ(x) такая, что y(x) и z(x) удовлетворяют
системе уравнений, записанной выше.
Доказательство. Выражение для вариации функционала получено при доказательстве предыдущей теоремы и имеет следующий вид:
δV = ∫b [(Fy − |
d |
Fy′)h1 |
+(Fz − |
d |
Fz′)h2 ]dx = 0 . |
|
dx |
dx |
|||||
a |
|
|
|
|||
Выражая теперь h2 через h1 из соотношения |
Φy h1 + Φz h2 = 0, полученного также, как |
и в предыдущей теореме, и используя условие Φz ≠ 0 , находим
h2 = − Φy h1 .
Φz
Далее, подставляя h2 в выражение для вариации и применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение
|
|
|
|
|
|
(F |
− |
d |
|
F |
′) −(F |
− |
d |
F |
′) |
Φy |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
Φz |
|||||||||
|
|
|
d |
|
|
y |
|
y |
z |
|
z |
|
|
||||
|
F |
− |
F |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полагая λ = − |
z |
|
z |
|
, получаем |
первое |
уравнение из системы уравнений Эйлера. |
||||||||||
|
Φz |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе уравнение системы – это записанное выше определение λ . Очевидно, что λ = λ(x) - непрерывная функция. Теорема доказана.
В качестве простого примера рассмотрим задачу об отыскании так называемых геодезических линий. Пусть уравнение Φ(x, y, z) = 0 задаёт некоторую поверхность в
трёхмерном пространстве, на которой фиксированы две точки. Поставим задачу отыскания геодезической линии, т.е. кривой минимальной длины, соединяющей эти точки.
Если предположить, что уравнение кривой допускает введение параметризации с помощью параметра x , то данная задача сводится к минимизации функционала
b |
|
|
|
|
V[ y, z] = ∫ |
′ 2 |
′ |
2 |
dx |
1+( y ) |
+(z ) |
|
a
ссоответствующими граничными условиями.
Взаключение параграфа рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу. Пусть требуется найти экстремум функционала
V[ y] = ∫b F (x, y, y′)dx
a
при выполнении граничных условий
72
y(a) = A, |
y(b) = B |
|
|
и дополнительного условия связи |
|
|
|
b |
′ |
= l |
|
|
|
||
I[ y] = ∫G(x, y, y ) dx |
|
||
a |
|
|
|
(функционал I[ y] имеет заданное значение). |
|
|
|
Задача называется изопериметрической, т.к. если положить |
|||
b |
|
|
|
I[ y] = ∫ |
′ 2 |
dx |
= l , |
1+( y ) |
|||
a |
|
|
экстремум функционала V [ y] , |
то требуется найти кривую, на которой |
достигается |
проходящую через заданные точки, причем длина кривой (ее периметр) задана.
Для того, чтобы применить полученные в данном параграфе результаты, введем новую функцию
|
|
|
|
|
x |
|
|
′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z(x) = ∫G(x, y, y ) dx . |
||||||||||
Очевидно, что z(a) = 0, z(b) = l . |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
Перепишем изопериметрическую задачу в следующем |
||||||||||||
виде: найти экстремум функционала |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V[ y, z] = ∫F |
|
|
′ |
dx |
|||||||
|
(x, y, y ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
при выполнении граничных условий |
y(a) = A, |
y(b) = B , z(a) = 0, z(b) = l и уравнения |
||||||||||
неголономной связи |
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Φ(x, y, z, y |
, z ) ≡ −z |
|
+G(x, y, y ) = 0 . |
|||||||||
Запишем систему уравнений Эйлера для функционала |
|
∫b H dx , где H = F +λΦ : |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
(F |
+λG |
y |
) − |
d |
(F ′ +λG |
′ ) = 0; |
||||||
dx |
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|||
dλ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание на второе уравнение, из которого следует, что λ = const .
Теорема (Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи с закрепленными концами).
Пусть:
|
b |
|
1) функция y(x) реализует экстремум функционала |
′ |
и |
V[ y] = ∫F (x, y, y )dx |
||
дважды непрерывно дифференцируема; |
a |
|
|
|
2)функции F и G непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно.
Тогда существует число λ такое, что y(x) удовлетворяет уравнению Эйлера
для функционала ∫b H dx , где H = F +λG .
a
Доказательство следует немедленно из теоремы о необходимом условии для задачи с закрепленными концами и неголономной связью.
73
Рассмотрим теперь задачу отыскания кривой заданной длины, ограничивающей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
максимальную площадь. |
В этом |
|
|
случае, |
F = y , V[ y] = ∫y dx , |
|
G = |
′ |
2 |
, |
|||||||
|
|
|
1+( y ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
′ |
2 |
, λ = const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = y +λ 1+( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый интеграл для уравнения Эйлера имеет вид |
|
′ |
, |
или |
|
|
|||||||||||
|
H − y H y′ = C1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ 2 |
′ |
y′ |
|
= C1 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y +λ 1+( y ) |
− y λ |
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+( y ) |
|
|
|
|
|
|
||
Приводя подобные члены, получим |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y −C1 = −λ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Введём вспомогательный параметр t |
по формуле y′ = tg t . Тогда y −C1 = −λcos t . |
|
|||||||||||||||
Найдем x(t) . Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx = dy |
= λsin t dt = λ cos tdt |
|
|
x −C2 = λsin t . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y′ |
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключая параметр t , получим уравнение окружности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x −C |
2 |
)2 |
+( y −C )2 = λ2 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры C1 , C2 и λ можно определить из системы: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −C |
|
)2 |
+( y −C )2 = λ2 ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(b) = B; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y(a) = A, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Gdx = l . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
Экзаменационные вопросы
1)Определения и формулировки теорем.
1. |
Сформулировать |
постановку |
задачи |
поиска |
экстремума |
функционала |
||
|
b |
′ |
′ |
)dx при условии, что концы закреплены, и имеется неголономная |
||||
|
|
|||||||
|
V [y, z]= ∫F (x, y, z, y , z |
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
связь. Записать необходимые условия экстремума в этой задаче. |
|
||||||
2. |
Сформулировать |
постановку |
задачи |
поиска |
экстремума |
функционала |
||
|
b |
′ |
′ |
)dx при условии, что концы закреплены, и имеется голономная |
||||
|
|
|||||||
|
V [y, z]= ∫F (x, y, z, y , z |
a
связь. Записать необходимые условия экстремума в этой задаче.
3.Сформулировать определение геодезической линии.
4.Сформулировать изопериметрическую задачу с закрепленными концами и необходимые условия экстремума в этой задаче.
2)Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать. Теоретические задачи.
|
b |
|
)dx , |
1. |
′ |
′ |
|
Получить необходимые условия экстремума функционала V [y, z]= ∫F (x, y, z, y , z |
|||
|
a |
|
|
|
если концы закреплены, и имеется неголономная связь. |
|
|
|
b |
|
)dx , |
2. |
′ |
′ |
|
Получить необходимые условия экстремума функционала V [y, z]= ∫F (x, y, z, y , z |
a
если что концы закреплены, и имеется голономная связь.
3.Получить необходимые условия экстремума в изопериметрической задаче с закрепленными концами.
4.Записать постановку и привести решение задачи об отыскании кривой заданной длины, площадь под которой максимальна (задача Дидоны).
75
Лекция №11
§5. Задачи с подвижной границей.
Рассмотрим задачу минимизации функционала
x1
V [y]= ∫F (x, y, y′) dx
a
при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: y(a) = y0 ,
а правый может перемещаться вдоль заданной кривой y =ϕ(x) (см. рисунок, x1 - абсцисса точки пересечения кривых y(x) и ϕ(x) , x [a, b] ).
y
y(x) |
ϕ(x) |
|
y0
a x1 x
Пример: пусть требуется найти расстояние от точки на плоскости с координатами
x1
(a, y0 ) до кривой y =ϕ(x) . Задача сводится к минимизации функционала ∫
a
Введем функционал B[y], полагая
Теорема (Необходимые условия экстремума для задачи с левым закрепленным и правым подвижным концами).
Пусть
1) y(x) осуществляет экстремум в поставленной выше задаче с подвижной границей и дважды непрерывно дифференцируема;
2)F – функция, непрерывная со своими частными производными до второго порядка включительно;
3)ϕ(x) непрерывна с первой производной. Тогда:
1)y(x) удовлетворяет уравнению Эйлера Fy − dxd Fy′ = 0 ;
2)при x = x1 выполнено условие трансверсальности (F −( y′−ϕ′)Fy′ ) x=x1 = 0 .
Доказательство. Прежде всего, докажем, что выполняется уравнение Эйлера. В самом деле, если y(x) такова, что на ней реализуется экстремум функционала V[ y] в
классе функций, у которых один конец закреплен, а другой подвижен, то на ней реализуется экстремум и в классе функций, когда оба конца закреплены (т.е. задано
76
граничное условие на правом конце |
y(x1 ) =ϕ(x1 ) , |
где x1 – |
абсцисса точки |
пересечения |
функции, на которой достигается |
экстремум, с |
кривой |
y =ϕ(x) ). Как |
доказано в |
параграфе 3 для задачи с закрепленными концами, в этом случае выполняется уравнение Эйлера.
|
|
Вычислим |
|
|
|
теперь вариацию функционала V[ y] . Зададим |
приращение |
h(x) и |
|||||||||||||||||
рассмотрим функцию переменной |
t : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B[y+th] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V [y +th]= ∫ F(x, y +th, y |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+th ) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим ее производную по t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
d |
V [y |
+th]= |
B[y+th] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
B[y +th]. |
|||||||||
|
|
∫ |
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dt |
|
Fy h |
+ Fy′h dx |
+ F (B[y +th], y(B) +th(B), y (B) +th (B)) |
|
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
B[y + th] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Положим |
t |
= 0 , тогда y +th = y(x) , |
|
t =0 = x1 , а вариация функционала |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
V[ y] равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
δV = |
d |
|
V [y + th] |
|
t=0 = x∫1 [Fy (x, y, y′)h + Fy′ (x, y, y′)h′]dx + F(x1 , y(x1 ), y′(x1 )) |
d |
|
B[y + th] |
|
t =0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
dt |
dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Интегрируя второй член в подынтегральном выражении по частям, используя |
|||||||||||||||||||||||
граничное |
условие |
на |
левом |
конце |
|
h(a) = 0 |
и |
|
|
равенство |
|||||||||||||||
x1 |
|
|
|
′ |
d |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy (x, y, y ) − |
|
|
Fy′ (x, y, y ) h dx = 0 , являющееся |
|
следствием |
уравнения |
Эйлера, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫a |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим выражение для вариации и приравняем его нулю:
δV = Fy′ (x1 , y(x1 ), y′(x1 ))h(x1 ) + F(x1 , y(x1 ), y′(x1 )) |
dB |
= 0 . |
|
dt |
t=0 |
Обозначим B[y + t h]= B(t) и заметим, что B(0) = x1 . По определению B(t) имеем |
y (B(t))+t h (B(t))≡ϕ (B(t)), так как абсцисса точки пересечения кривой, записанной в
левой части, с кривой y =ϕ(x) |
|
есть B(t) . Продифференцируем записанное тождество по |
|||||||||||||
t и получим |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
′ |
|
′ |
||||
y (B(t))B (t) |
+ t h (B(t))B (t) + h(B(t)) |
= ϕ (B(t))B (t) , |
|||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(B(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B (t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
′ |
|||||||
|
|
|
|
|
ϕ (B(t))− y (B(t))−t h |
(B(t)) |
|||||||||
Рассмотрим два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Если ϕ′(x1 ) ≠ y′(x1 ) , |
т.е. ϕ′(B(t))− y′(B(t)) |
|
t=0 ≠ 0 , то можно выполнить предельный |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
переход при t → 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
h(x1 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= ϕ′(x1 )− y′(x1 ). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
B (0) |
|
|
|
|
|||||||
В этом случае выражение для вариации примет вид |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
δV = Fy′ |
x=x |
+ F |
x=x1 |
|
|
|
|
|
h(x1 ) = 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
ϕ′(x1 )− y′(x1 ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что h(x1 ) – произвольное число, и сокращая на h(x1 ) , получаем
(F − ( y′−ϕ′)Fy′ )x=x1 = 0 ,
т.е. условие трансверсальности, сформулированное в теореме.
77
′ |
|
′ |
|
′ |
|
|
|
2) Если ϕ (x |
) = y (x |
) , то B (t) →∞ . В этом случае равенство нулю вариации |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
δV = Fy′ h + F |
dB |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
||
|
|
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
t =0 |
возможно тогда и только тогда, если F (x1 , y(x1 ), y′(x1 ))= 0 . Легко видеть, что это и есть
условие трансверсальности в случае ϕ′(x1 ) = y′(x1 ) . Теорема доказана. Рассмотрим важный частный случай – задачу со свободным правым концом.
y
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
B(t) = b , т.е. левый конец закреплен, |
|
|
||||||||||||
|
Пусть |
|
а правый может перемещаться по |
|||||||||||||||
прямой |
x = b |
(см. рисунок). В этом случае мы не можем ввести функцию ϕ(x) , т.к. |
||||||||||||||||
уравнение границы |
x = b . Понятно, что |
dB |
|
|
|
= 0 . Повторяя рассуждения, приведшие нас |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
dt |
t =0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к получению вариации в предыдущей теореме, имеем |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δV = Fy′ h(b) = 0 . |
|
|
||||||||
Отсюда |
|
Fy′ |
|
|
|
= 0 |
- граничное условие в случае, когда правый конец свободен. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x=b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим теперь случай, когда функционал имеет вид |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B[ y] |
|
′ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V [y]= ∫ A(x, y) |
2 |
dx , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+( y ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
по x, y . В частности, если A ≡1, то |
|||||||
где функция |
A(x, y) ≠ 0 и дифференцируема |
|||||||||||||||||
функционал V [y] определяет длину кривой. |
Условие трансверсальности в этом случае |
|||||||||||||||||
переходит в условие ортогональности кривых y = y(x) |
к y =ϕ(x) . |
|||||||||||||||||
|
В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A(x1 , y(x1 )) 1 + ( y′(x1 ))2 − (y′(x1 ) −ϕ′(x1 ))A(x1 , y(x1 )) y′(x1 ) = 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ( y′(x1 ))2 |
Приводя к общему знаменателю и сокращая на ненулевые множители, имеем
1 +ϕ′( x1) y′( x1) = 0 ,
откуда
y′(x1 ) = −ϕ′(1x1 ) ,
т.е. условие ортогональности.
Если рассматривать задачу с подвижной границей, в которой правый конец закреплен, а левый – подвижен, то получим тот же результат, только с условием трансверсальности на левом конце.
78
Теперь рассмотрим задачу, в которой оба конца являются подвижными: пусть левый конец функции, на которой осуществляется экстремум функционал V[ y] , может
перемещаться вдоль кривой y =ϕ1 (x) , а правый конец вдоль кривой y =ϕ2 (x) (см.
рисунок). В этом случае должны выполнятся условия трансверсальности на правом и на левом концах.
y
y(x)
ϕ2(x)
ϕ1(x)
x1 |
x2 |
x |
Действительно, если функция y(x) такова, что на ней реализуется экстремум в
классе функций, когда оба конца подвижны, то на ней реализуется экстремум и в классе функций, когда левый конец «правильно» закреплен, а правый подвижен. Из этого следует, что выполняется условие трансверсальности на правом конце (аналогичное утверждение справедливо и для левого конца). Очевидно (см. доказательство теоремы), что функция, на которой достигается экстремум, удовлетворяет уравнению Эйлера.
В заключение параграфа рассмотрим пример. Пусть требуется найти экстремум функционала
x1 |
′ |
2 |
|
V [y]= ∫ |
1+( y ) |
|
dx |
y |
|
||
0 |
|
|
при условии, что левый конец закреплен, а правый может перемещаться вдоль заданной
прямой, т.е. y(0) = 0 , |
y1 = x1 −5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем первый интеграл уравнения Эйлера |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F − y Fy′ = C , |
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
1+( y ) |
− y′ |
|
|
|
= C , |
||||
|
|
y |
|
|
|
′ 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
y 1+( y ) |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = C y 1+ |
|
′ 2 |
. |
|
|
||||
|
|
( y ) |
|
~ |
|||||||
Введем параметр t , полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′ = tg t . Тогда y = C1 cos t , и для определения x(t) |
|||||||||||
запишем |
|
|
|
|
C1 sin t dt |
|
|
|
|
||
|
dx = dy = − |
= −C |
cos t , |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
y′ |
|
|
tg t |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x = −C1 sin t |
+C2 . |
|
79