3курс,VIсем Задачи инт ур

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пусть последовательность xn

элементов нормированного пространства сходится (по

норме пространства N) к элементу

тогда для любого ε > 0 существует номер К

такой, что при n ≥ K и любом натуральном

p одновременно выполнены два неравенства:

|| x − x ||≤ ε

− x ||≤ ε .

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1.24 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ТЕМА 1

Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

Основные определения и теоремы

Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для

любых двух его элементов x, y определен элемент x + y L	(называемый суммой x и y ),
и для любого элемента x L и любого (вещественного)	числа α определен элемент
αx L , причем выполнены следующие условия:

1)для любых элементов x, y L x + y = y + x (коммутативность сложения);

2)для любых элементов x, y, z L (x + y) + z = x +( y + z) (ассоциативность сложения);

3) существует элемент θ L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента x L x +θ = x (существование нулевого элемента);

4)для любого элемента x L существует элемент (−x) L (называемый обратным к x) такой, что x +(−x) =θ (существование обратного элемента);

5)	для любых элементов x, y L и любого (вещественного) числа α	α(x + y) =αx +α y
	(дистрибутивность умножения суммы элементов на число);	(α + β)x =αx + βx
6)	для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента x L	(α + β)x =αx + βx
	(дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент);
7)	для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента x L (αβ)x =α(βx)
	(ассоциативность умножения на число);

8) для любого элемента x L			1 x = x (свойство единицы).
Элементы x1, x2 ,..., xm линейного пространства L называются линейно зависимыми,
если существуют	такие	(вещественные) числа		C1, C2 ,...,Cm ,	не	все	равные нулю, что
m
∑Ck xk =θ ; если	же	последнее равенство		имеет место	в	единственном случае
k =1
C1 = C2 =... = Cm = 0 , то элементы x1, x2 ,..., xm - линейно независимы.
Натуральное	число	n ,	называется размерностью линейного				пространства, если

существуют n линейно независимых элементов пространства, а любые n +1 элементов - линейно зависимы. В этом случае линейное пространство называется конечномерным (n- мерным).

	Если для любого натурального n можно указать n линейно независимых элементов,
то линейное пространство называется бесконечномерным.
	Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его
элементов x, y M определено вещественное число			ρ(x, y)	(называемое метрикой, или
расстоянием), причем выполнены следующие условия:
1)	для любых элементов x, y M	ρ(x, y) ≥ 0 ,	причем	ρ(x, y) = 0 тогда и только
	тогда, когда элементы x и y совпадают (неотрицательность метрики);
2)	для любых элементов x, y M	ρ(x, y) = ρ( y, x)	(симметричность метрики);
3)	для любых элементов x, y, z M	ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ( y, z) (неравенство треугольника).

Метрическое пространство не обязательно является линейным.			xn M , n =1, 2,...
Последовательность	элементов	метрического пространства	xn M , n =1, 2,...
сходится к элементу x0 M	( xn → x0	при n → ∞), если ρ(xn , x0 ) → 0	при n → ∞.

Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента

x N определено (вещественное) число || x || (называемое нормой),

причем выполнены

следующие условия:

x N

|| x || ≥ 0 ,

причем || x || = 0

для любого элемента

тогда и только тогда,

когда

x =θ - нулевой элемент пространства;

|| αx || =| α | || x ||

для любого элемента

x N

и любого

(вещественного) числа

(неотрицательная однородность нормы);

для любых элементов x, y N

|| x + y || ≤ || x || + ||

y || (неравенство треугольника).

Нормированное

пространство

является

метрическим,

если

положить

ρ(x, y) = || x − y || .

Последовательность

элементов

нормированного

пространства

xn N ,

n =1, 2,...

сходится (по

норме

пространства N)

элементу

x0 N

( xn → x0

при n → ∞), если

|| xn − x0 ||→ 0

при n → ∞.

Из сходимости последовательности

по норме пространства следует сходимость

последовательности (числовой!) норм, т.е. если

xn → x0 при n → ∞,

то || xn ||→|| x0 || при

n → ∞. Обратное, вообще говоря, неверно.

Последовательность

xn , n =1, 2,...

элементов

нормированного

пространства N

называется фундаментальной, если для любого

ε > 0

найдется номер K такой, что для

любого n ≥ K и любого натурального p выполнено неравенство || xn+ p − xn || ≤ ε .

Если последовательность

сходится,

то

она

фундаментальна.

Если

же

любая

фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное пространство называется полным.

Полное нормированное пространство называется банаховым.
Последовательность	xn ,	n =1, 2,...	элементов	нормированного	пространства	N
называется ограниченной,	если	существует константа C такая, что			\|\| xn \|\| ≤ C для всех
n =1, 2,... .
Последовательность	xn ,	n =1, 2,...	элементов	нормированного	пространства	N,

обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной.

Любая компактная последовательность является ограниченной. В конечномерном пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так.

Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов x, y E определено вещественное число (x, y) , называемое скалярным произведением,


причем выполнены следующие условия:
1)	для любых элементов x, y E				(x, y) = ( y, x)	(симметричность);
2)	для любых элементов x, y, z E				(x + y, z) = (x, z) +( y, z)		(аддитивность	по
	первому аргументу);
3)	для любых элементов x, y E				и любого вещественного числа α (αx, y) =α(x, y)
	(однородность по первому аргументу);
4)	для любого x E		(x, x) ≥ 0 ,		причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x =θ
	(свойство скалярного квадрата).
	В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным
произведением \|\| x \|\|E = (x, x) .					x и y произвольного евклидова пространства
	Для любых	двух	элементов
выполняется		неравенство		Коши-Буняковского		(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y)		или

| (x, y) | ≤ || x || || y || , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.

Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств.

1.Нормированное пространство C[a, b] . Элементами этого пространства являются

непрерывные на			отрезке [a,b]	функции. Норма определяется как
	y	C[a,b] = max \| y(x) \| ,	сходимость по	норме пространства C[a, b] - равномерная

		x [a,b]

сходимость. Пространство C[a, b] - банахово (полное).

2.Нормированное пространство C( p) [a,b] . Элементами этого пространства являются функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке

			p
[a,b] . Норма определяется как	y	C( p ) [a,b]	= ∑max \| y(k ) (x) \| , сходимость по норме
[a,b] . Норма определяется как	y	C( p ) [a,b]	= ∑max \| y(k ) (x) \| , сходимость по норме
			k =0	x [a,b]
				x [a,b]

пространства C( p) [a,b] - равномерная со всеми производными до p-го порядка. Пространство C( p) [a,b] - банахово.

3.Евклидово (нормированное) пространство h[a, b] . Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [a,b] функции. Для любых двух непрерывных

функций положим ( y, z) = ∫b y(x)z(x)dx - скалярное произведение, и введем норму,

порожденную скалярным произведением \|\| y \|\|h[a,b] = ∫b	y2 (x)dx ;	сходимость по норме
a
пространства h[a, b] - сходимость в среднем. Пространство		h[a, b] не является
полным.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке [a,b] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C[a, b] ).

Решение. Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства.

1)	y(x), z(x) C[a, b]	y(x) + z(x) = z(x) + y(x) ;
2)	y(x), z(x), w(x) C[a, b]	[ y(x) + z(x)] + w(x) = y(x) +[z(x) + w(x)];
3) нулевым элементом пространства естественно считать			y(x) ≡ 0 C[a, b] ;
4)	y(x) C[a, b] существует противоположный элемент		−y(x) C[a, b] ;
5)	y(x), z(x) C[a, b], α	α [ y(x) + z(x)] =α y(x) +αz(x) ;
6)	y(x) C[a, b], α, β	(α + β) y(x) =α y(x) + β y(x) ;
7)	y(x) C[a, b], α, β	(αβ) y(x) =α [β y(x)] ;
8) y(x) C[a, b]		1 y(x) = y(x) .

Пример 1.2.

Доказать,

что пространство

C[a, b] является нормированным, если для

y(x) C[a, b] определить

C[a,b] = max | y(x) | .

Решение.

x [a,b]

Для доказательства достаточно убедиться

корректности

указанного

определения нормы, т.е. проверить аксиомы нормы.

y(x) C[a, b] :

C[a,b] = max | y(x) |≥ 0 , причем

C[a,b] = 0 y(x) ≡ 0 =θ ;

y(x) C[a, b], α :

x [a,b]

α y

C[a,b] = max | α y(x) |=| α | max | y(x) |=| α |

C[a,b] ;

y(x), z(x) C[a, b] :

x [a,b]

y + z

C[a,b]

= max | y(x) + z(x) | ≤

x [a,b]

C[a,b] .

≤ max (| y(x) | + | z(x) |) ≤ max | y(x) | + max | z(x) |=

C[a,b] +

x [a,b]

Пример 1.3. Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] и проверить

корректность определения нормы в этом пространстве

h[a,b]

∫b

y2 (s) ds .

Решение. Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b]

имеет вид

2 b

y(x), z(x) h[a,b] .

( y, z)2 ≡ ∫y(x)z(x)dx

≤ ∫y2 (x)dx ∫z2 (x)dx

Для

доказательства

рассмотрим

следующее

очевидное

соотношение

0 ≤ ( y +λz, y +λz) = ( y, y) + 2λ( y, z) +λ2 (z, z) ,

которое

справедливо для

любых двух

элементов пространства y(x), z(x) h[a,b]

и любого вещественного числа λ . Поэтому

дискриминант квадратного (относительно λ ) трехчлена должен быть отрицательным, т.е. 4( y, z)2 −4( y, y)(z, z) ≤ 0 , откуда и получаем требуемое неравенство:

b	2	b	b
( y, z)2 ≡ ∫y(x)z(x)dx		≤ ( y, y)(z, z) ≡ ∫y2 (x)dx ∫z2 (x)dx .
a		a	a

Замечание. Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом пространстве.

Для проверки корректности определения нормы в пространстве h[a, b] нужно убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы.

1) y(x) h[a, b]:

h[a,b] = ∫b

y2 (x)dx ≥ 0 , причем

h[a,b]

= 0 y(x) ≡ 0 =θ ;

y(x) h[a, b], α :

α y

h[a,b] = ∫b α2 y2 (x)dx =| α | ∫b

y2 (x)dx =| α |

h[a,b] ;

y(x), z(x) h[a,b] :

y + z

h2[a,b] = ∫b ( y(x) + z(x))2 dx = ∫b ( y2 (x) + z2 (x) + 2 y(x)z(x))dx ≤

(с учетом неравенства Коши-Буняковского)

≤ ∫b

y2 (x) dx + ∫b z2 (x) dx + 2 ∫b

y2 (x) dx

∫b z2 (x) dx = (|| y ||h[a,b] + || z ||h[a,b] )2 ,

откуда получаем неравенство треугольника

y + z

h[a,b]

≤ || y ||h[a,b] +|| z ||h[a,b] .

Пример 1.4.

Найти норму y(x) = sin x +cos x

в пространстве C[0, 2π] ;

б)

в пространстве h[0, 2π] .

Решение.

а)

sin x +cos x

C[0,2π ] = max | sin x +cos x |= 2 ;

x [0,2π ]

б)

sin x +cos x

h[0,2π ] =

2∫π (sin x +cos x)2 dx = 2π .

Пример

1.5.

Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов

нормированного пространства фундаментальна.

Решение.

Последовательность xn элементов нормированного пространства N называется

фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер K такой, что для любого n ≥ K и любого натурального p выполнено || xn+ p − xn || ≤ ε .

Пользуясь неравенством треугольника, получим при n ≥ K и любом натуральном p

|| xn+ p − xn ||=|| xn+ p − x0 + x0 − xn ||≤|| xn+ p − x0 || + || xn − x0 ||≤ ε , что и требовалось.

Пример 1.6. Доказать, что пространство h[a, b] не является полным.

Решение. Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной последовательности элементов пространства h[a, b] , которая не является сходящейся в

этом пространстве.

Рассмотрим для определенности пространство h[−1,1] и последовательность непрерывных функций (элементов этого пространства):

	−1,	−1 ≤ x ≤ −		1

					n
					n
				1
				1
yn (x) =	nx, 0 ≤ \| x \| ≤
yn (x) =	nx, 0 ≤ \| x \| ≤			n
		1		n
	1,	1	≤ x ≤1 .
	1,	n	≤ x ≤1 .
		n

а) Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[−1,1] .

Зададим произвольное ε > 0 и положим m > n , тогда существует такое натуральное число N (ε) , для которого

2 −

yn (x) − ym (x)

∫

( yn (x) − ym (x))2 dx = 2

∫

(mx −nx)2 dx + 2

∫

(1−nx)2 dx =

−

≤

< ε

h[ 1,1]

−1

при m > n > N (ε) =

+1, что и требовалось доказать.

3ε

б)

Пусть последовательность

yn (x)

сходится в пространстве

h[−1,1] , т.е. существует

непрерывная функция ϕ(x) такая, что для ε > 0

N1 (ε) и при всех n ≥ N1 (ε) выполнено

yn (x) −ϕ(x)

h[−1,1] =

∫1

( yn (x) −ϕ(x))2 dx ≤ ε .

−1

−1, −1 ≤ x < 0

Рассмотрим разрывную функцию

ψ (x) =

x = 0 .

0 < x ≤1

Тогда для ε > 0

N2 (ε)

такое, что при n ≥ N2 (ε) имеем

∫1 ( yn (x) −ψ (x))2 dx = 2 ∫n (nx −1)2 dx =

≤

ε .

−1

Так как ϕ(x) - непрерывная, а ψ (x) - разрывная функция, то

ϕ(x) −ψ (x) ≡/ 0 и,

следовательно, ∫1

(ϕ(x) −ψ (x))2 dx > 0 .

Поэтому для всех ε > 0 и

n ≥ max{N1 (ε), N2 (ε)}

−1

0 < ∫1 (ϕ(x) −ψ (x))2 dx = ∫1 [(ϕ(x) − yn (x)) +( yn (x) −ψ (x)]2 dx ≤

−1

≤

∫1

(ϕ(x) − yn (x))2 dx +

∫1

( yn (x) −ψ (x))2 dx =

yn (x) −ϕ(x)

h[−1,1] +

∫1

( yn (x) −ψ (x))2 dx ≤ ε

+ ε = ε .

−1

Ввиду

произвольности

выбора

ε > 0

получаем

противоречие,

значит

предположение о сходимости последовательности yn (x)

в пространстве h[−1,1]

неверно.

Итак,

построенная

последовательность

yn (x)

фундаментальна в пространстве

h[−1,1] , но не является сходящейся в этом пространстве, что и требовалось доказать.

Замечание. При доказательстве было использовано соотношение

b	b	b	b	b		b	b		2
∫( y(x) + z(x))2 dx ≤ ∫y2 (x) dx + ∫z2 (x) dx + 2			∫y2 (x) dx	∫z2	(x) dx =	∫y2 (x) dx +	∫z2	(x) dx	,
a	a	a	a	a		a	a
a	a	a	a	a		a	a

являющееся следствием неравенства Коши-Буняковского.

Пример 1.7. Доказать, что не всякая ограниченная последовательность в пространстве C[a, b] является компактной.

Решение. Рассмотрим пространство C[0,1] и последовательность элементов этого

пространства

yn = sin 2n π x , n =1, 2,3, ... . Очевидно,

C[0,1]

= max | yn (x) | =1 , т.е.

последовательность ограничена.

x [0,1]

Покажем, что никакая ее подпоследовательность не может сходиться в C[0,1] .

Действительно, для любого номера i

существует точка x =

[0,1]

такая, что в

2i+1

ней y (x ) = sin 2i π

=1.

При этом для любого k > i

в этой же точке имеет место

2i+1

(x ) = sin 2k π

= 0 . Следовательно,

y − y

C[0,1]

≥ | y (x ) − y

(x ) | =1 ,

т.е. никакая

2i+1

подпоследовательность

рассматриваемой

последовательности

не

является

фундаментальной, а значит и не может сходиться.

Задачи для самостоятельного решения

1.1Доказать, что пространство h[a, b] является линейным.

1.2Доказать, что пространство C( p) [a,b] является линейным.

1.3Доказать, что в пространстве \1 нельзя ввести норму по формуле || x || = | arctg x | .

1.4Можно ли определить нормы следующими функциями для указанных множеств:

	а)	\|\| y \|\|= max \| y(x) \|				в C[a, b] ;
			x [a,	a+b	]
			2		′
	б)				′	в C	(1)	[a,b] ;
	б)	\|\| y \|\|=\| y(a) \| + max \| y (x) \|				в C		[a,b] ;
					x [a,b]
	в)				′	в C	(1)	[a,b] .
	в)	\|\| y \|\|=\| y(b) − y(a) \| + max \| y (x) \|				в C		[a,b] .
					x [a,b]
1.5	Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространств C[0, 2] и C (1) [0, 2] :
	а)	y = 2 sin πx − cosπx
	б)	y = 3cosπx −sin πx
	в)	y = x2	− x
	г)	y = x2	− 4x
	д)	y = x2	− 6x .

1.6Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространства h[0, 2] :

а) y = 2 sin πx − cosπx

б) y = x2 − x

в) y = x3 −1.

1.7Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность ограничена.

1.8Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [a,b] функциональной последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость.

1.9Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h[a, b] .

1.10Привести пример ограниченной некомпактной последовательности в пространстве h[a, b] .

1.11Доказать, что последовательность yn (x) = xn ограничена и некомпактна в пространстве C[0,1] .

1.12Доказать, что последовательность непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций yn (x) ,

удовлетворяющих неравенству

h2[a,b] +

yn′

h2[a,b] ≤ γ, γ > 0 ,

является компактной в

пространстве C[a,b].

1.4	а)	нет;
1.5	а)	\|\| y \|\|C[0,2] =	5 ,
	б)	\|\| y \|\|C[0,2] =	10 ,
	в)	\|\| y \|\|C[0,2] = 2 ,
	г)	\|\| y \|\|C[0,2] = 4 ,
	д)	\|\| y \|\|C[0,2] = 9 ,
1.6	а)	\|\| y \|\|h[0,2] =	5 ;

Ответы к задачам

б)	да;	в)	нет.
	\|\| y \|\|C(1) [0,2] = (π +1)	5 ;
	\|\| y \|\|C(1) [0,2] = (π +1)	10 ;

||y ||C(1) [0,2] = 5 ;

||y ||C(1) [0,2] =8 ;

||y ||C(1) [0,2] =15 .

б)	\|\| y \|\|	h[0,2]	=	4	;	в)	\|\| y \|\|	h[0,2]	= 86 .

			15						7

ТЕМА 2

Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

Основные определения и теоремы

Оператор A , действующий из линейного пространства L1 в линейное пространство L2 , называется линейным, если для любых элементов y1 и y2 из L1 и любых вещественных чисел

α1 и α2 выполнено равенство A(α1 y1 +α2 y2 ) =α1 Ay1 +α2 Ay2 .
Пусть D( A) - область определения, а		R( A) - множество значений оператора А. Если
оператор A : y = Ax , действующий из линейного пространства L1			в линейное пространство
L , взаимно однозначный,	то можно ввести обратный оператор A−1 : A−1 y = x с областью
2
определения D( A−1 ) = R( A)	и множеством значений R( A−1 ) = D( A) = L .
Нуль-пространством оператора A			1
		называется множество	Ker A ={x L1 : Ax =θ} .

Очевидно, что Ker A – линейное подпространство L1 , причем θ Ker A . Если Ker A ≠{θ} (нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным.

Определение А. Оператор A , действующий из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N2 , называется непрерывным в точке y0 D( A) N1 , если для

любой последовательности	yn D( A) , такой что yn → y0 , последовательность	Ayn
сходится к Ay0 .
Определение Б. Оператор A , действующий из нормированного пространства		N1 в

нормированное пространство N2 , называется непрерывным в точке y0 D( A) N1 , если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству || y − y0 || ≤δ выполняется неравенство || Ay − Ay0 || ≤ ε .

Сформулированные определения А и Б эквивалентны.

Оператор A называется непрерывным на множестве D( A) (на N1 ), если он непрерывен в каждой точке этого множества. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, если

он является непрерывным в нуле.

Нормой линейного оператора A называется число

N →N

= sup

< +∞ .

Линейный оператор называется ограниченным, если существует sup

N =1

Теорема. Линейный оператор A : N1 → N2 , является

непрерывным

тогда

и только

тогда, когда он ограничен.

Теорема. Для любого y N1 выполнено неравенство

≤

→N

N ,

где А

– линейный ограниченный оператор, действующий из нормированного пространства

N1 в

нормированное пространство N2 .

Линейный оператор A называется вполне непрерывным, если для любой ограниченной последовательности элементов yn из N1 последовательность zn = Ayn элементов N2 такова,

что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (т.е. вполне непрерывный оператор преобразует любую ограниченную последовательность в компактную).

Вполне непрерывный оператор является ограниченным (следовательно, непрерывным), однако не любой непрерывный линейный оператор является вполне непрерывным.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Докажите,

что интегральный оператор Фредгольма Ay = ∫b K (x, s) y(s)ds с

непрерывным ядром является ограниченным

при действии из

C[a, b] в C[a, b]

и найдите

оценку сверху для нормы оператора.

Решение.

Пусть z(x) = Ay ≡ ∫b K (x, s) y(s)ds ,

где

y(s) - произвольная непрерывная на [a,b]

функция,

причем || y ||C[a,b]

= max | y(x) | =1. Так как ядро K (x, s)

непрерывно на замкнутом

x [a,b]

ограниченном множестве (квадрате [a,b]×[a, b] ),

то оно ограничено.

Обозначив K0 = max

| K(x, s) | ,

получим, что для любого

x [a, b]

имеет место

x,s [a,b]

| z(x) | =

∫

K(x, s) y(s) ds

≤

∫

| K(x, s) | | y(s) | ds ≤ max | y(s) |

∫

| K (x, s)| ds ≤ || y ||

(b −a) .

s [a,b]

C[a,b]

Тогда || Ay ||C[a,b] = || z ||C[a,b]

≡ max | z(x) | ≤ || y ||C[a,b]

K0 (b −a) =K0 (b −a) , откуда следует, что

x [a,b]

оператор Фредгольма с непрерывным ядром, действующий из C[a, b] в C[a,b] , ограничен. Так как доказанное выше неравенство верно для любой непрерывной функции

y(x) : || y ||C[a,b] =1, то и для нормы оператора справедлива оценка

|| A || ≡ sup || Ay || ≤ K0 (b −a) .

|| y||=1

Пример 2.2. Докажите, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром является вполне непрерывным при действии из C[a, b] в C[a, b] .

Решение. Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность непрерывных на [a,b] функций yn (x) и заметим, что для любого n имеет место оценка

y n C[a,b] = max | yn (x) | ≤ M .

x [a,b]

Пусть zn (x) = Ayn ≡ ∫b K (x, s) yn (s)ds . Для решения задачи достаточно показать, что

последовательность zn (x) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке

[a,b] .

а)

Докажем сначала равномерную ограниченность. Обозначим K0

= max

| K (x, s) | . Тогда

x,s [a,b]

| z

(x) | =

∫

K(x, s) y

(s) ds

≤

| K(x, s)| | y (s) | ds ≤ M K

(b −a) = C ,

что

и требовалось

∫

≤ K0

≤ M

доказать.

б) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности zn (x) . Возьмем произвольные точки x1 , x2 [a, b] . Имеем

(x ) − z

(x )

∫

[K(x , s) − K (x , s)] y

(s) ds

≤

∫

| K(x , s) − K(x , s) | | y

(s) | ds .

≤ M

Фиксируем произвольное ε > 0 . Функция K (x, s) непрерывна по совокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве [a,b]×[a,b] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве. Поэтому для любого ε > 0 найдется такое

δ > 0 , что

K(x1, s) − K (x2 , s)

≤

при условии

− x2

≤ δ .

M (b −a)

Итак, для любого ε > 0 существует δ > 0 , что

zn (x1 ) − zn (x2 )

≤

| K (x1, s) − K (x2 , s) | | yn (s) | ds ≤

| K (x1, s) − K (x2

, s) | | yn (s) | ds ≤ ε

∫

≤ M

≤

M (b−a)

для всех n =1, 2,...

и любых

x1 , x2 [a, b] , удовлетворяющих неравенству

x1 − x2

≤ δ , т.е.

последовательность zn (x) равностепенно непрерывна.

По теореме

Арцела, из

последовательности непрерывных

функций

zn (x)

можно

выделить равномерно сходящуюся (к непрерывной функции!) подпоследовательность. Этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности zn (x) , поэтому

оператор A является вполне непрерывным при действии C[a,b] → C[a,b] .

Пример 2.3. Доказать, что если линейный оператор B : N2 → N3 является ограниченным, а линейный оператор A : N1 → N2 вполне непрерывным, то BA : N1 → N3 – вполне непрерывный оператор ( N1, N2 , N3 – нормированные пространства).

Решение.

а) Оператор A: N1 → N2 является вполне непрерывным, поэтому для любой ограниченной


последовательности	zn N1	соответствующая	ей	последовательность				Azn N2 является
компактной.				B:	N2 → N3		переводит		компактную
б) Докажем, что ограниченный оператор
последовательность yn N2 в компактную Byn N3 . Так как						yn	компактна, то из любой ее
подпоследовательности можно выделить			сходящуюся			ynk → y0 N2 .			Рассмотрим
последовательность Byn N3		и любую ее подпоследовательность Bynk . Из соответствующей
последовательности	ynk N2	можно выделить		подпоследовательность ynm → y0 . Ввиду
непрерывности оператора B последовательность				Bynm	также сходится:			Bynm → By0 N3 , а

значит Byn является компактной.

Поэтому оператор BA : N1 → N3 переводит любую ограниченную последовательность zn N1 в компактную BA zn N3 , т.е. является вполне непрерывным.

Пример 2.4. Пусть A - линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве. Доказать, что множество элементов пространства таких, что Ay =θ , образует

замкнутое линейное подпространство (нуль-пространство оператора).

Решение.
а)	Рассмотрим произвольные элементы y1	и y2 такие, что Ay1 =θ и Ay2 =θ . Тогда
для любых α1 , α2 выполнено A(α1 y1 + α2 y2 ) =α1 Ay1 + α2 Ay2 =θ ,			т.е. множество элементов
y : Ay =θ - линейное пространство.
б)	Докажем его замкнутость, т.е. если Ayn	=θ и yn → y0 , то Ay0	=θ .
	Так как A - ограниченный линейный оператор, то

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.2015361.94 Кб15399885.rtf
#
19.11.201881.41 Кб339_-_texty_-_B-C.doc
#
06.11.2018491.52 Кб23_kl.doc
#
17.05.201534.93 Кб293_referat_MYu.docx
#
18.03.20161.23 Mб693курс, VIсем.Волков,Ягола инт ур.pdf
#
18.03.20161.24 Mб333курс,VIсем Задачи инт ур..pdf
#
18.03.201689.8 Кб264 курс л.р 1.ТСП теор случ процессов.docx
#
18.03.20161.14 Mб1954 курс ЧМ брошюра.docx
#
17.05.2015279.52 Кб64 лихачев.rtf
#
13.08.201940.79 Кб104 раздел.тема1.docx
#
17.05.201549.35 Кб84 тема.docx