12 Таблица основных формул дифференцирования

Функция	Производная	Функция	Производная

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

адание. Найти вторую производную функции 

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ. 

13) Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения.

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка, в которой.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка, такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой между точкамиинайдется точка, такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде(рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и:

1. непрерывны на отрезке ;

2. дифференцируемы на интервале ;

3. производная на интервале,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

15) Правило Лопиталя—Бернулли

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют методнахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающаяметод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределуотношения их производных.

Точная формулировка

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

1.  или ;

2. ;

3.  в проколотой окрестности a;

4. Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указаннойбудет приведено доказательство).

Доказательство Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можемнепрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x израссматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, изполученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.