8) Некоторые важные пределы

Если угол а выражен в радианах, то При нахождении многих пределов применяются следующие пределы: (13.19) (13.20) (13.21) Частными случаями формул (13.19) и (13.20) являются соответственно формулы: (13.22) (13.23) При нахождении пределов видаНеобходимо иметь В виду следующее: 1)  если существуют конечные пределы 2)  еслиИ, тоНаходится с помощью формул 3) еслиТо, положивГде ПриПолучим Пример 13.12. Найти ПриВыражениеПолучаем неопределенность ВидаЧтобы раскрыть ее, введем новую переменную по формулеОткудаКогдаПереходя к пределу С использованием формул (13.13) и (13.18), находим  В частности, приПолучаем Пример 13.13. Найти Разделив числитель и знаменатель наИ воспользовавшись результатом примера 13.12, получим Пример 13.14. НайтиПреобразуя эту дробь и применяя первую из формул (13.17), находим Пример 13.15. Найти Преобразуя данную функцию, вводя новую переменнуюИ применяя Формулу (13.21), находим

9) Производная. Геометрический и физический смысл производной

Перейти к списку задач и тестов по теме "Производная. Геометрический и физический смысл производной"

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

10) Производные некоторых основных элементарных функций

В этом пункте мы найдем производные следующих основных элементарных функций: постоянной (константы) степенной функции с натуральным показателем , показательной функции логарифмической функции и тригонометрических функций .

Производные остальных основных элементарных функций будут найдены в последующих пунктах. 1. Производная постоянной Так как функция сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке любому приращению аргумента соответствует приращение функции , равное нулю. Поэтому

Итак,

2. Производная степенной функции с натуральным показателем . Пусть х — произвольно выбранная точка, -приращение аргумента в этой точке и — соответствующее приращение данной функции. Тогда по формуле бинома Ньютона

или

Следовательно,

Таким образом,

3. Производная показательной функции Давая приращение произвольно выбранному значению аргумента получим следующее приращение показательной функции:

Следовательно,

так как (см. гл. V, § 2, п. 2, пример 3).

Таким образом,

В частности, при получим

так как 

4. Производная логарифмической функции Возьмем любое значение из области определениялогарифмической функции и дадим ему приращение Тогда приращение функции

Поэтому

Для того чтобы найти этот предел, сделаем следующее преобразование:

Принимая во внимание, что величина постоянна и что при также и по формуле (25) гл. V, § 2 получим

Итак,

(19)

или

так как

В частности, при получим

так как 

5. Производные функций Пусть — приращение произвольно выбранного значения аргумента функции Тогда приращение этой функции

Следовательно,

так как по формуле (18) гл. V, § 1, п. 7

Таким образом,

Аналогично выводится формула для производной функции 

11) Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.

Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах.

Теорема I. Если функции дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

Доказательство. Рассмотрим функцию . Приращению аргумента соответствуют приращения

функций и и и. Тогда функция у получит приращение

Следовательно,

Так как по предложению функции и и v дифференцируемы, то

и, следовательно, .

Итак,

Замечание. Формула (23) легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых:

Пример 1. Найти производную функции Решение. Применяя вначале формулу (24), а затем формулы (16), (21) и (20), получим

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

Доказательство. Пусть 

Если получит приращение то функции и, v и у будут иметь соответственно некоторые приращения причем

Следовательно,

Так как при фиксированном постоянны, то их можно вынести за знак предела. Поэтому

Кроме того,

так как функция v по условию дифференцируема, а следовательно, и непрерывна, и поэтому 

Таким образом,

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Действительно, если (с — постоянная), то по формуле (25)

В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный —1, что равносильно вынесению за знак производной знака 

На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. По формулам (25), (18) и (22) получим

Пример 3. Найти производную многочлена Решение. Применяя последовательно формулы (24), (26), (16) и (15), получим

Замечание. Формулу (25) можно обобщить на случай любого конечного числа сомножителей. Если, например, , то

В самом деле,

Теорема 3. Если в данной точке функции дифференцируемы и , то в той точке дифференцируемо и их частное причем

Доказательство. Пусть — приращение аргумента а — соответствующие приращения функций . Тогда функция будет иметь приращение

Следовательно,

или

Мы считали, что вследствие предположения о дифференцируемости, а следовательно, инепрерывности функции у.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Представив данную функцию в виде частного

получим по формуле (29):

Таким образом,

При этом условие выполняется для любого принадлежащего области определения функции 

Аналогично выводится формула для производной функции :