3. Скалярное произведение векторов

3.1. Определить углы ^∆АВС с вершинами А(2;-1;3); В(1;1;1) и С(0;0;5).

Ответ: В=С=45˚.

3.2. Даны векторы: =++2, и=-+4. Определитьи.

Ответ: .

3.3. Даны компланарные векторы,,, причем ||=3, ||=2, ||=5, ()=60˚ и ()=60˚. Построить вектори вычислить его модуль по формулеи=.

Ответ: 7.

3.4. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах: и, гдеи– единичные векторы, угол между которыми 60˚.

Ответ: .

3.5. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если известно, что ||=2,||=3 и.

Ответ: 15, .

3.6. Дан вектор , где и– единичные векторы с углом 120˚ между ними. Найтиcos) и cos).

Ответ: cos)cos).

3.7. Найти угол между векторами: и , гдеи– единичные векторы, образующие угол 120˚.

Ответ: 120˚.

3.8. Определить угол между векторами и, если известно, чтои ||=1, ||=2.

Ответ: 2π/3.

3.9. Найти косинус угла φ между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1) и С(-3;3;-3).

Ответ: .

3.10. Даны точки А(2;2) и В(5;-2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы .

Ответ: М₁(1;0) и М₂(6;0).

3.11. Даны векторы (1;1) и(1;-1). Найти косинус угла между векторамии, удовлетворяющими системе уравнений,.

Ответ: -4/5.

3.12. ||=3, ||=5. Определить, при каком значении α векторыибудут перпендикулярны.

Ответ: α=±3/5.

3.13. Даны векторы: . При каких значенияхn угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n<;n=;n>.

3.14. В треугольнике АВС=,=. Вычислить длину его высоты, если известно, чтои– взаимно перпендикулярные орты.

Ответ: 19/5.

3.15. Вычислить пр, если ||=||=1 и=120^o.

Ответ: 1/2.

3.16. Зная, что ||=3, ||=1, ||=4 и=0, вычислить.

Ответ: -13.

3.17. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора, если, .

3.18. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору(2;1;-1) и удовлетворяющего условию =3.

Ответ: (1;1/2;-1/2).

3.19. Вектор перпендикулярен векторам(2;3;-1) и(1;-2;3) и удовлетворяет условию=-6. Найти координаты.

Ответ: (-3;3;3).

3.20. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.

Ответ:

3.21. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положенияА(-1;2;0) в положение В(2;1;3).

Ответ: 4.

3.22. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияА(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Ответ: А=6.

3.23. На материальную точку действуют силы ₁=,₂=,₃=. Найти работы равнодействующей этих сил и силы₂ при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).

Ответ:1; -6.

4.Векторное произведение векторов

4.1. ||=1, ||=2 и. Вычислить:

а) |[,]|; б) |[2+,+2]|; в) |[+3, 3-]|.

Ответ: а) ; б) 3; в)10.

4.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ: 1) 2) ; 3); 4) 3.

4.3.Доказать, что , и выяснить геометрическое значение этого тождества.

Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.

4.4. Векторы исоставляют угол 45˚. Найти площадь треугольника, построенного на векторах, если ||=||=5.

Ответ: 50

4.5.Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.

Ответ: .

4.6. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4) и С(4;3;2).

Ответ: 2.

4.7. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4); В(1;0;6) и С(4;5;-2).

Ответ: 24,5.

4.8. В треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2) и С(1;3;-1) найти высоту h=||.

Ответ: 5.

4.9.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.

Ответ: 1,5.

4.10. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2-и 4-5, гдеи– единичные векторы.

Ответ: .

4.11. Определить, при каких значениях α и β вектор будет коллинеарен вектору[,], если (3;-1;1),(1;2;0).

Ответ: α=-6; β=21.

4.12. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам(4;-2;-3) и(0;1;3) образует с ортомтупой угол и ||=26.

Ответ: (-6;-24;8).

4.13. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам(2;-3;1) и(1;-2;3), а также удовлетворяет условию=10.

Ответ: (7;5;1).

4.14. Сила приложена к точкеА(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки О(3;2;-1).

Ответ: .

4.15.Сила =приложена в точкеМ(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.

Ответ: .

4.16. Даны три силы: (2;-1;-3),(3;2;-1) и(-4;1;3), приложенные к точкеА(-1;4;2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2;3;-1).

Ответ: ;cosα=1/;cosβ=-4/;cosγ=-7/.