Министерство образования и науки российской федерации

Брянский государственный технический университет

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

____________ О.Н. Федонин

« » ____________ 2014 г.

Геометрия и топология

Задачи к практическим занятиям для студентов I курса

очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

Брянск 2014

УДК 511

Геометрия и топология [Текст]+[Электронный вариант]: задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». − Брянск: БГТУ, 2014. − 38с.

Разработали: В.М. Кобзев, ст. преп.                     

Н.В. Сычева, канд. пед. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой Высшая математика БГТУ

(протокол №10 от 4.06.14)

1. Линейные операции над векторами

1.3. На трех компланарных векторах ,ипостроен параллелепипед. Указать те вектор-диагонали, которые соответственно равны,,, и.

1.4. медианы треугольника АВС. Доказать равенство =0.

1.5. медианы треугольника АВС. Выразить через =и=векторы.

Ответ: ;;=.

1.6. В параллелограмме ABCDобозначены: =,=. Выразить черезивекторы, где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Ответ: ;;;.

1.7. В треугольнике АВС. Полагая, =,=, выразитьчерез векторыи.

Ответ: ;.

1.8. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем =,=. Выразить черезивекторы

Ответ: ;.

1.9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Доказать равенство .

1.10. В пространстве заданы треугольники АВС и A'B'C'; M и M'–точки пересечения их медиан. Выразить вектор через векторыи.

Ответ: ).

1.11. Точки Е и F – середины сторон ADи BC четырехугольника АВСD. Доказать, что . Ввести отсюда теорему о средней линии трапеции.

1.12. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно . Полагая =,=, выразить черезивекторы

Ответ: .

1.13. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60˚, ОВ=ВС=СА=2, М и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и– единичные векторы направленийи

Ответ: ,, ,.

1.14. На стороне [AD] параллелограмма АВСD отложен вектор длины ||=1/5||, а на диагонали [AC] – вектор длины ||=1/6||. Доказать, что векторыколлинеарны и найти такое, что .

Ответ: =5.

1.15. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам:, ,.

Ответ: s=.

1.16. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: , ,,.

Ответ: 3p-4q-3r-2s=0.

1.17. Даны четыре вектора . Вычислить их сумму, если известно, что, и векторы некомпланарны.

Ответ: 0.

1.18. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы ,,компланарны.

1.19. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения , при которых векторы ,, компланарны.

Ответ: 1,-2.

1.20. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения  и µ, при которых векторы иколлинеарны.

Ответ: =µ=1.