Раздел 7. «Поиск путей в графе».

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

   1. Что такое «вес дуги (ребра)»?

   2. Какой граф называется взвешенным?

   3. Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути в невзвешенном графе?

   4. Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути во взвешенном графе?

2. Задачи для усвоения материала.

1. Сколько существует простых путей (в которых ребра не повторяются, а вершины могут повторяться) из левой нижней в правую верхнюю вершину в данном графе?

а)

б*)

2. Найти кратчайший путь из A в B в графе:

B

A

3. Найти кратчайший путь от входа к выходу.

4. Найти кратчайший путь из вершины А в вершину F во взвешенном графе:

5. В государстве Футболия дороги платные (стоимость проезда указана на карте):

Как дешевле всего проехать из Радченко-Ленд в Степченко-Сити и сколько это стоит?

6. То же для государства

Как дешевле проехать из столицы в Улан-Кар?

7. Волк охотится за зайцем. Пройти по дороге он может, если подружится с воронами, охраняющими дороги.

С каким наименьшим количеством ворон придётся подружиться волку?

8. В государстве Гардарика дороги платные. Как дешевле попасть из Северного замка в Южный и сколько ракушек понадобится для беспрепятственного проезда?

9. В штате Вайоленд дороги платные (стоимость проезда указана на карте):

Как дешевле всего проехать из Нэшройта в Детвилл и сколько это стоит?

Раздел 8. «Эйлерова цепь (цикл). Формула Эйлера. Плоские и планарные графы»

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

1. Что такое эйлерова цепь?

2. Что такое эйлеров цикл?

3. У каких графов существует эйлерова цепь?

4. У каких графов существует эйлеров цикл?

5. В чем состоит формула Эйлера?

6. Для каких объектов верна формула Эйлера?

7. Как выглядят непланарные графы № 1, № 2, типов 1, 2?

8. В чем состоит теорема Куратовского-Понтрягина?

2. Задачи для усвоения материала.

ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА

1. Обладают ли эйлеровой цепью (или эйлеровым циклом) следующие графы:

а) б) в)

г) д)е)

ж)

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Для любого плоского или планарного связного графа (к которым, заметим, относятся все многогранники в пространстве) верна формула В + Г– Р = 2, где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер графа.

2. Считая данные графы планарными, выяснить, сколько граней получится после преобразования их в плоские («распутывания»):

3*. а) Пусть k – число граней правильного многогранника, сходящихся в одной вершине. Доказать геометрически, что всегда 3 £ k £ 5.

б) Правильный многогранник называется октаэдром (от греческого "окта" – восемь, "эдр" – грань). Выяснить форму его граней.

в) То же для додекаэдра (додека – двенадцать) и икосаэдра (икоса - двадцать).

г) Выявить все возможные правильные многогранники.

НЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ

4. Являются ли данные графы плоскими (планарными)?

г) д)е)

ж)з)