Раздел 4 «Мощность множеств»

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

   1. Что такое мощность множества?

   2. Как связаны мощность множества и биекция?

   3. Сформулируйте «правило произведения» (чему равна мощность декартового произведения двух множеств?)

   4. Что Вы знаете о мощности множества всех подмножеств данного множества?

   5. Что такое ?

   6. Что Вы знаете о мощности множества двоичных наборов?

   7. Что Вы знаете о мощности объединения двух множеств?

   8. Верно ли, что мощность объединения двух множеств равна сумме их мощностей? В каких случаях это верно?

   9. Что Вы знаете о мощности разности множеств А и В?

   10. Верно ли, что мощность разности двух множеств равна разности их мощностей? В каких случаях это верно?

   11. Существует ли общая формула для нахождения мощности пересечения множеств?

   12. Верно ли, что мощность пересечения двух множеств равна произведению их мощностей? В каких случаях это верно?

2. Задачи для усвоения материала.

1 Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв п, е, н, а, л?

2. Какова мощность множества всех слов, составленных из этих же букв?

3. Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв слова «парта»?

4. Какова мощность множества всех слов, составленных из этих же букв?

5. Из 31 ученика класса в олимпиадах по физике или по химии собираются участвовать 19 человек, в олимпиадах по физике или по математике - 12 человек, в олимпиадах по химии или математике – 18 человек; во всех трёх олимпиадах – 2 человека. Сколько учеников будут участвовать ровно в одной олимпиаде, если в олимпиаде по физике будут участвовать 14 человек, по химии – 10 человек, по математике – 7 человек?

6. После экзаменационной сессии оказалось, что 10 студентов второй группы имеют в зачётных книжках хотя бы одну оценку «отлично», 20 студентов - хотя бы одну оценку «хорошо», 10 - хотя бы одну оценку «удовлетворительно». Причём, «пятёрки» и «четвёрки» имеются у пяти студентов, «пятёрки» и «тройки» - у трёх студентов, «четвёрки» и «тройки» - у четырёх, два студента имеют в зачётных книжках и «пятёрки», и «четвёрки», и «тройки». Сколько студентов во второй группе, если известно, что никто во время сессии не получил оценку «неудовлетворительно»?

Раздел 5 «Отношения на множестве»

1. Самостоятельная работа. Тоже здесь не смотрится

Вариант 0

1. Сколько четырёхзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 2,3,5,7,8,9?

2. Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв л, е, с, к, а

3. В соревнованиях по бегу принимают участие 10 студентов. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места между участниками?

4. Используя теорию множеств решить задачу:

Из 100 учеников гимнастикой занимается 28 человек, волейболом – 42, плаванием – 30, гимнастикой и волейболом занимается 10 человек, гимнастикой и плаванием – 8, волейболом и плаванием – 5. Всеми тремя видами спорта занимается 3 ученика. Сколько учеников не занимается спортом?

2. Необходимые определения и формулировки теорем.

   1. что такое отношение на множестве?

   2. Какие виды отношений на множестве Вы знаете?

   3. Какое отношение называется рефлексивным?

   4. Какое отношение называется антирефлексивным?

   5. Какое отношение называется симметричным?

   6. Какое отношение называется асимметричным?

   7. Какое отношение называется антисимметричным?

   8. Какое отношение называется транзитивным?

   9. Что такое «отношение эквивалентности»?

   10. Сформулируйте основное свойство отношения эквивалентности.

   11. Что такое «отношение порядка»?

   12. Что такое «отношение строгого порядка»?

   13. Что такое «отношение нестрогого порядка»?

   14. Какое множество называется вполне упорядоченным?

   15. Какое множество называется частично упорядоченным?

   16. Что такое цепь?

3. Задачи для усвоения материала.

   1. Выяснить, какими свойствами обладает отношение на множестве, если .

   2. Отношение Г на множестве всех книг в библиотеке определим следующим образом. Пара книг a и b принадлежит Г, тогда и только тогда, когда в этих книгах есть ссылки на одни и те же литературные источники. Является ли Г рефлексивным отношением? симметричным отношением? Отношением эквивалентности?

   3. Отношение Г на некотором множестве ключевых слов для в поиска в Интернете определим следующим образом. Пара ключевых слов a и b принадлежит Г тогда, и только тогда, когда они начинаются с одного и того же символа. Является ли Г отношение эквивалентности? Если да, то описать классы эквивалентности, индуцированные данным отношением.

   4. Определим на множестве NN пар натуральных чисел отношение Г условием: означает, чтоив. Показать, что этомножество с отношением Г является частично упорядоченным.

   5. На множестве людей рассмотрим отношение "быть одинакового роста". Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?

   6. На плоскости xOy рассмотрим отношение Г: (x₁,y₁)Г(x₂,y₂), если выполнено x₁+y₁=x₂+y₂. Является ли оно отношением эквивалентности? Если да, то что служит классом эквивалентности?

   7. На множестве людей рассмотрим отношение "быть предком". Является ли оно отношением порядка? Если да, то что является цепью?

   8. На плоскости xOy рассмотрим отношение Г: (x₁,y₁) Г (x₂,y₂), если выполнено x₁ x₂ и y₁<y₂.Является ли оно отношением порядка? Если да, то что служит цепью?