Пусть все аргументы измерены п раз со случайными ошибками Дуп Д^ . . . Д^ (г = 1 , 2 , . . ./г), тогда

Допуская, что ошибки аргументов малы по сравнению е их величинами, предыдущее выражение можно представить в виде

или

В полученном выражении частные производные суть некоторые постоянные числа; они играют роль коэффициентов к в формуле (У.28). Переходя к средним квадратическим ошибкам, по формуле (У.29) получим

Из (У.ЗО) следует, что квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженной на их средние квадратические ошибки.

Применим формулу (У.29) для определения средней квадратической ошибки арифметической средины.

По формуле (У-6) имеем

Таким образом, мы получили доказательство формулы (У.11) — выражения для средней квадратической ошибки арифметической средины.

§ 25. ПОНЯТИЕ О ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

При определении точности способов измерений и исследовании инструментов часто применяют метод двойных измерений, сущность которого заключается в том, что одну п ту же величину измеряют дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для истинных ошибок.

Пусть даны результаты двух рядов двойных равноточных измерений:

1и ^з» • •

1'г — 1ч =

•• . .

1п 1п — ^я-

Если бы все измерения были безошибочны, то разности й были бы равны нулю. Следовательно, разности двойных измерений можно рассматривать как истинные ошибки. Поэтому средняя квадратическая ошибка разности двойных измерений на основании (У.7) выразится так:

= ]/2??г

или

(У.34)

Подставляя выражение (У.32) в (У.34), получим

Формула (У.35) дает выражение средней квадратической ошибки отдельного измерения из п двойных измерений при отсутствии системати-

Поясним это на том же примере с измерением углов в плоском треугольнике. Вследствие ошибок измерения углов в треугольнике их сумма не будет равна теоретической, т. е. 180° (нарушение геометрического условия). Систем поправок, введение которых в значения измеренных углов треугольника делает сумму их равной 180°, может быть предложено бесчисленное множество, т. е. задача без дополнительных условий является неопределенной. Вводя дополнительно условие минимума суммы квадратов поправок, мы получаем единственное решение, а значения исправленных углов будут наиболее достоверными — вероятнейшими.

Пользуясь описанным принципом, докажем, что арифметическая

целью получить наиболее надежные (вероятнейшие) результаты по способу наименьших квадратов для неизвестных при избыточном числе измерений, называется у р а в н и в а н и е м .

Уравнивание имеет две цели: 1) найти наиболее надежные значения неизвестных с оценкой точности полученных результатов и 2) исключить все математические противоречия в зависимостях, существующих между измеряемыми величинами.

При геодезических вычислениях, в зависимости от требуемой точности и объема работ, применяются счетные линейки, различные таблицы, арифмометры, настольные вычислительные машины и электррнно-вычисли- тельные машины.

О т о ч н о с т и в ы ч и с л е н и й . Число значащих цифр, которое надо удерживать при вычислениях, должно быть на один порядок больше, чем точность исходных данных.

Для правильного решения задачи нужно исходить из точности измерений, по результатам которых производятся вычисления. Полевые измерения — наиболее трудоемкий этап геодезических работ. Точность, полученная из измерений, должна сохраняться при вычислениях. По-

этому вычисления, как правило, ведутся на один десятичный знак больше, чем измерения.

Об о к р у г л е н и и ч и с е л . Если при вычислениях получено число с большим количеством знаков, чем это требуется, то производится его округление до нужного числа знаков таким образом, чтобы оставшееся число было ошибочно менее чем на 5 единиц знака, следующего за оставляемым числом знаков.

Если отбрасываемая часть числа состоит только из одной цифры 5, то округление делается так, чтобы оставшаяся последняя цифра была четной (правило Гаусса).

При вычислениях рекомендуются следующие правила:

1)при сложении и вычитании в окончательном результате удерживается столько значащих цифр, сколько имеется в данном наименьшем числе;

2)при умножении и делении сохраняется столько десятичных знаков, сколько имеет наименьшее из данных чисел;

3)при возведении в квадрат и куб следует удерживать столько значащих цифр, сколько их имеется в возводимом в степени числе;

4)при извлечении корня берется столько значащих цифр, сколько их имеет извлекаемое число;

5)если искомая величина или число получается как результат нескольких слагаемых или нескольких арифметических действий, то во всех промежуточных результатах удерживается на один знак больше с тем,

чтобы правильно округлять окончательный результат;

6)при логарифмических вычислениях, как правило, следует пользоваться таблицами, дающими на один знак больше, чем имеет логарифмируемое число;

7)при интерполировании по таблицам следует брать один лишний десятичный знак с тем, чтобы ошибка найденного числа не была больше половины последнего десятичного знака.

При вычислениях, особенно массовых, должна соблюдаться строгая методическая последовательность, аккуратность и четкость в записях. Вычисления не рекомендуется переписывать, так как при этом возможны описки и ошибки.