Метод.указания по математике _к.р.1_-УПТС-заоч.,заоч.сокр

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет Балаковский институт техники, технологии и управления

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 для студентов 1 курса заочной формы обучения

по направлению 220400 «Управление в технических системах»

Одобрено редакционно-издательским советом Балаковского института техники, технологии и управления

Балаково 2011

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы, здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Комплексные числа. Введение в математический анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Основные теоретические сведения

Л и т е р а т у р а: [1], гл. I, II, III, IV, V, VI, IX; [2], гл. II, III, IV, V, VII, VIII, IX; [3], гл. XXI; [4], гл. II, III, IV, V, VI, X, XI, XII; [5], гл. XVIII; [6], гл. II, III, IV, V, VII, IX, XI, XII; [7], гл. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII; [8], гл. I, II, III, IV, V, VI.

1. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Обозначают матрицу буквами А,В,С,…

А - матрица размером т× п, а11,а12,…, аmn - элементы матрицы.

Коротко записывают так: А=(аij), где i - номер строки, j - номер столбца. Матрица размера п× п называется квадратной матрицей n-го порядка.

Элементы a11,a22,…, аnn образуют главную диагональ матрицы, элементы аm1,аm-1,2…, а1,n - побочную диагональ матрицы.

Матрица АТ , которая получается из данной матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной к А:

3

Произведением матрицы А=(аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В=(bij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=АВ=(сij), имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

Сij=аi1b1j+аi2b2j+…+ аikbkj

2. Определитель - это число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице. Обозначается D=detА= .

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника:

литель n-1 порядка, получаемый из данного определителя вычеркиванием i строки и j столбца, на пересечении которых стоит элемент.

делителя D.

Алгебраическим дополнением Аij какого-либо элемента аij называется его минор Мij, умноженный на (-1)i+j, где i , j – номера строки и столбца элемента аij:

Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:

Если определитель D матрицы А не равен нулю, то обратная матрица вычисляется по формуле:

4

3. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х1,х2,х3 имеет вид:

где аij – коэффициенты системы, bi - свободные члены.

Определитель 3-го порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы:

Решение системы методом Крамера: Если определитель системы D не ра-

вен нулю, то решение находится по формулам Крамера:

где определители D1, D2, D3 вычисляются следующим образом:

Систему (9) можно записать в матричной форме:

где

5

Решение системы (9) матричным способом: Если определитель системы D не равен нулю, то решение системы имеет вид:

4. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда имеет нулевое решение: х1=0, х2=0,…, хn=0. 5. Вектором называется отрезок с определенным на нем направлением.

→ →

Обозначается a, AB .

→

Координатами вектора AB в прямоугольной системе координат в пространстве называются его проекции на оси координат Ох, Оу, Оz.

Обозначается → = { }

AB X , Y , Z ,

6

на площади параллелограмма, построенного на век-

Выражение смешанного произведения векторов через их координаты:

7

где N = {A, B,C} - нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М0(х0,у0,z0), М1(х1,у1,z1), М2(х2,у2,z2) имеет вид:

10. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки М0(х0,у0,z0),

ляет собой полюс О и полярную ось ОЕ с

Рис.1. Полярная система координат

выбранным на ней масштабом (рис.1).

8

Произвольная точка М в полярной

полярная ось – с положительной полуосью Ох (рис.2).

Прямоугольные координаты (х,у) точки М и ее полярные координаты ( ρ , ϕ )

связаны соотношениями:

12.Определение конечного предела в точке:

Число А называется пределом функции y = f (x) при x → a , если для любо-

го ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех значений х из области определе-

Две функции f (x) и ϕ(x) одновременно стремящиеся к нулю или к беско-

f (x) =

нечности при x → a , называются эквивалентными, если lim ( ) 1.

x→a ϕ x

Обозначается f (x) ∞ϕ(x).

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменяется, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

9

15. Выражение вида z = x + iy = ρ(cosϕ + i sinϕ ) называется комплексным чис-

лом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно), i - мни-

мая единица, i2 = −1, x = Re z - действительная часть, y = Im z - мнимая часть комплексного числа z , ρ,ϕ - модуль и аргумент числа Z .

Если известны действительная x и мнимая часть y , то ρ,ϕ

мулам:

Если известны ρ и ϕ , то x, y находим по формулам:

10