§ 6. Понятие о логике высказываний

Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений строит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1. Символы для высказываний: р, q, r ... (пропозициональные переменные).

2. Символы для логических связок: — конъюнкция (союз «и»);

v — дизъюнкция (союз «или»);

—импликация (союз «если..., то...»);

—эквивалентность (союз «если и только если..., то...»);.

l— отрицание («неверно, что...»).

3)Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, г ... — является ППФ.

1. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А В, A v В, А В, А В, lА— также являются ППФ.

2. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозициональных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения сложных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных.

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ ), которое определяется следующим образом. ИзA₁,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого A₁, ..., An истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если A₁,..., An -B, то формула, представляющая собой импликацию вида (A₁ А₂ ...Аn) В, должна быть тождественной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозаключений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы (р q) (lq lр). Заменив знак логического следования между посылкой и заключением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокращенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рассуждении формула вида (A₁ ...Аn) Вдолжна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь противоречие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — правильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровергает проверяемое рассуждение.

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая система натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения, Таким образом, под выводом формулы В (заключения) из формул A₁,..., Аn (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть формула В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в алфавите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

Конъюнкция:

Дизъюнкция:

Импликация:

Отрицание:

Эквиваленция:

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (x₁ (х₂ …(x_n-1 x_n))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. x₁, х₂, х₃,..., х_n-1. Если при этом удастся вывести х_n, то по непрямому правилу в собираем последовательно формулы: (x_n-1 x_n) (при этом исключается допущение x_n-1), (x_n-2 (x_n-1 х_n)(х_n-r исключается из числа допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение x₁ (х_n-2 ... (x_n-1 х_n). Это правило построения прямого вывода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквента х_n. Это правило имеет вид

и говорит о том, что если из каких-то формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (Вl В), то из этих формул следует lА. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (x₁ (х₂ ...(x_n-1 х_n):..), то после посылок выписываются формулы:

x₁

x_{2 допущения}

…

x_n-1

l x_{n допущение} косвенного доказательства (ДКД)

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока не получим две противоречащие друг другу формулы (В и lB), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка ll х_n и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р q) [(lq l р)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т.е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида x₁ (х₂ ... —> х_n), то построчно выписывают все антецеденты от x₁ до x_n-1 в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — l х_n как допущение косвенного вывода. По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвенного вывода. На этом основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу х_n.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться только истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множества посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание (lА).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вывести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.