2.2.2 Рента постнумерандо

Те же условия, что в разделе 2.2.1, но рента вносится в конце каждого периода – постнумерандо.

К концу первого периода сделан взнос С и FV₁=С

К концу второго периода снова сделан взнос С, а на FV₁ наросли проценты:

FV₂=С+С·(1+r).

К концу третьего: FV₃=С+С·(1+r)+С·(1+r)² и т. д.

Будущая сумма к концу n-ого периода

.

Это геометрическая прогрессия с первым членом ₁=С и частным q=(1+r). Следовательно,

.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то n=m·k

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) можно объединить в одну.

(2.3)

Здесь тип=0, для взносов постумерандо,

тип=1, для взносов пренумерандо.

Очевидно, что при выплатах пренумерандо абсолютная величина будущей накопленной суммы больше.

Поскольку выплаты С и конечная сумма имеют, как правило, разные знаки (-С; -С;-С; FV) или (С; С;С; -FV), то их сводят в уравнение эквивалентности

(2.4)

Напомним, что в выражениях (2.1) – (2.4) величина m – это число взносов и начислений процентов в году.

При ежемесячных взносах m=12;

при ежеквартальных взносах m=4;

при взносах раз в полгода m=2;

при ежегодных взносах m=1.

П

Первый случай – взносы постнумерандо (тип=0)

ример 2.1. Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых?

Решение

С=-300 руб.

r=0,18

k=1

m=1,2

FV=?

Второй случай –взносы пренумерандо (тип =1)

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.

2.3 Уравнение эквивалентности в общем виде

В первой главе мы вывели уравнение эквивалентности (1.6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С. В разделе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (2.4), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета (см. раздел 2.1) фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (1.6) и (2.4)

(2.5)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

1. FV=f(PV,С,r,m,k) – будущую сумму в любой момент;

2. PV=f(FV,С,r,m,k) – текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;

3. С=f(PV,FV,r,m,k) – выплаты;

4. k=f(PV,FV,С,r,m) – срок договора;

5. r=f(PV,FV,С,m,k) – норму, годовую процентную ставку.