- •1.Квантова теорія вільних електронів у кристалі.
- •Хвильова функція вільних електронів
- •Поверхня Фермі вільних електронів у кристалі.
- •Зони Бріллюена.
- •Провідники з точки зору зонної теорії.
- •Діелектрики з точки зору зонної теорії.
- •Напівпровідники з точки зору зонної теорії.
- •Теорема Блоха.
- •Наслідки теореми Блоха.
- •Циклічні умови Борна-Кармана.
- •Хвильові функції вільних електронів у кристалі.
- •Кількість квантових станів в зоні Бріллюена (густина станів у зоні Бріллюена).
- •Квазіімпульс електрона у кристалі.
- •Ефективна маса електрона у кристалі.
-
Теорема Блоха.
Теорема Блоха:
Хвильову функцію електронів у періодичному полі кристала можна представити у такому вигляді:
(5-4).
- вектор має розміри обернені довжині функції . -деяка функція, яка має періодичність гратки.
(5-5).
Функція (5-5) називається модулюючим множником.
Хвильова функція, яка визначається ф-лою (5-4) називається хвильовою ф-цією Блоха.
Вона являє собою плоску хвилю модульовану в такт гратки.
Вектор називається хвильовим вектором в кристалі.
-
Наслідки теореми Блоха.
-
Стани електрона в кристалі: ψк(r) та ψk+2πb(r) в межах однієї енергетичної зони фізично еквівалентні:
ψк(r)= ψk+2πb(r) (6.1),
де b - вектор оберненої гратки.
тобто хвильовий вектор k електрона в періодичному полі кристалічної гратки визначений з точністтю до довільного вектора оберненої гратки домноженого на 2π
-
В межах кожної енергетичної зони енергія електрона в кристалі є періодичною функцією хвильового вектора k з періодом 2πb.
-
Циклічні умови Борна-Кармана.
Якщо розміри кристалу в якому знаходяться електрони досить великі, то явища на його поверхні практично не будуть впливати на стан електрона в центрі кристала. Мінімальний об’єм, починаючи з якого виконується вище наведена умова називається основною областю кристалу (V0). Тоді вірним буде таке твердження:
в кристалі будь-якого об’єму більшому ніж V0, фізичні стани електронів повторюються у просторі з періодом, що дорівнює лінійній величині області V0. Це можна довести, якщо з’єднати декілька областей V0 кристалів. Це твердження справедливе, як для полікристалів так і для монокристалів. Експериментальні дані показують, що лінійний розмір основної області має порядок величини 10-6 м.
Дамо математичне формулювання циклічних умов Борна-Кармана. Представимо основну область у вигляді паралелепіпеда:
де, n1, n2, n3 – цілі числа порядка 104
- базисні вектори кристалічної гратки
- діагональ паралелепіпеда (3-4)
Властивість періодичності функції можна записати:
(3-5)
(3-6)
(3-7)
(3-8)
(3-9)
(3-10)
(3-11)
Умови (3-10), (3-11) виконуються при значеннях:
(3-12)
З (3-12) витікає:
(3-13)
Формули (3-13) визначають можливі значення складових хвильового вектора електрона в кристалі. Оскільки а1, а2, а3 та n1, n2, n3 фіксовані для даного кристалу числа, то визначаються відповідно числами , тобто складові хвильового вектора змінюються дискретно або мають дискретний спектр. Відповідно і сам вектор k має дискретний спектр.