2. Хвильові функції вільних електронів у кристалі.

Хвильову функцію вільних електронів в кристалі треба знаходити з рівняння Шредінгера для стаціонарного стану, тобто коли потенціальна енергія

.

Рівняння Шредінгера:

(2-1)

де, ∆ - оператор Лапласса; - хвильова функція вільного електрону;ħ – стала Планка; m – маса електрона; Е – енергія (кінетична).

В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

(2-2)

Позначимо вираз:

(2-3)

Параметр к пов’язаний з енергією електрона і від нього залежить хвильова функція. Він відіграє дуже важливу роль в квантовій теорії твердого тіла.

(2-4)

Знайдемо розв’язок рівняння (2-4). Розв’язок цього рівняння має вигляд:

(2-5)

де, r₁, r₂ – корні характерного рівняння:

(2-6)

(2-7)

(2-8)

де, і = √-1

Тоді загальний розв’язок рівняння буде мати вид:

(2-9)

Індекс k в рівнянні (2-9) ми пишемо тому, що хвильова функція залежить від k, як від параметру. Окремі розв’язки:

(2-10)

(2-11)

В результаті цих розрахунків можна зробити висновок:

вільний електрон в кристалі може перебувати в трьох станах з хвильовими функціями (2-9), (2-10), (2-11).

Графічно хвильова функція може бути представлена, як плоска хвиля, що поширюється у напрямку осі ох.

2. Кількість квантових станів в зоні Бріллюена (густина станів у зоні Бріллюена).

Із визначення витікає, що всі зони Бріллюена мають однакове число квантових станів. Визначимо в яких межах змінюються складові вектору k. В першій зоні Бриллюена:

k_x [-π/a₁; π/a₁], k_y [-π/a₂; π/a₂], k_z [-π/a₃; π/a₃] (7.3)

За циклічними умовами Борна-Кармана:

, Об’єм основної області кристалу:

V₀=(a₁n₁)(a₂n₂)(a₃n₃) (7.5)

(7.4)

(7.6)

(7.7)

(7.8)

З цих формул видно, що може приймати n₁ значень

може приймати n₂ значень

може приймати n₃ значень

Оскільки ,, змінюються незалежно, то максимальне число різних складових хвильового вектора k в межах зони Бріллюена (відповідно і число вектора k в цій зоні) буде дорівнювати n₁n₂n₃ .З формули (7.5) знайдемо:

n₁n₂n₃ = V₀/a₁a₂a₃ (7.9)

Тоді (7.9) визначає кількість елементарних комірок в об’ємі V₀. Оскільки примітивній комірці належить один атом, то вираз (7.9) визначає атомів кількість в цьому кристалі. Оскільки в типових металах електронний газ складається з електронів, кількість яких дорівнює кількості атомів N, то кількість можливих станів в зоні Бріллюена дорівнює числу атомів в даному кристалі. Якщо врахувати, що згідно принцупу Паулі, в одному стані можуть знаходитись 2 електрона, то їх кількість, що визначається одної зоною Бріллюена становить 2N, тобто електронним станом на один атом