Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Геометрический смысл производной функции в точке
Приблизим точку В к точке А:
Y 
f (x)
A
X x0 
Дифференциальное исчисление |
|
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
|||
|
кафедры высшей математики БГУИР |
||||
Геометрический смысл производной функции в точке |
|||||
Геометрический смысл производной функции в точке: |
|||||
угловой коэффициент касательной к графику функции, |
|||||
проведенной в точке касания: |
f (x0 ) k tg |
||||
Y |
|
|
|||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
Уравнение касательной: |
|||
|
|
|
|||
f (x0) |
A |
|
y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Уравнение нормали: |
||
|
y |
1 |
(x x0 ) f (x0 ) |
||
|
x0 |
|
|||
|
|
f (x0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Физический смысл производной функции в точке
1.Пусть материальная точка М движется прямолинейно, и функция s(t) есть пройденный ею путь за время t.
Пусть t0 |
– момент начала движения. |
||||||
Тогда отношение |
|
s(t) |
s(t0 ) |
– средняя скорость движения. |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
t0 |
||
Предел |
lim |
s(t) s(t0) |
s (t0 ) – мгновенная скорость |
||||
|
|||||||
|
t t0 |
t t0 |
|
|
|
||
точки в момент t0.
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Физический смысл производной функции в точке
2.Пусть q (t0) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t0.
Пусть t – промежуток времени.
Тогда q q(t0 t) q(t0).
Отношение q
t
– средняя сила тока за время t.
Предел |
lim |
q |
q (t0 ) |
– мгновенный ток. |
|
|
|||
|
t 0 |
t |
|
|
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции в точке
Теорема 1: Основные формулы дифференцирования
Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют производную в точке x = x0. Тогда функции
c u, |
u v, |
u v, |
u |
v |
|
|
|
|
тоже имеют производные в точке x = x0, вычисляемые по формулам:
1)(c u) c u
константу можно выносить за знак производной
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции в точке
Теорема 1: Основные формулы дифференцирования
2) формула производной суммы
(u v) u v
3) формула производной произведения
(u v) u v u v
4) формула производной частного
u |
|
u v u v |
(v(x) 0) |
|
|
|
v2 |
||
v |
|
|
||
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции в точке
Теорема 2: Дифференцирование сложной функции
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x0, а
функция f (y) |
имеет производную в точке y0 = g(x0). Тогда |
|||||
сложная функция f (g(x)) |
имеет производную в точке x0, |
|||||
вычисляемую по формуле |
|
|||||
|
|
|
f (x0 ) f ( y0 ) g (x0 ), y g(x) |
|||
или |
df |
|
df |
dg |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
dg |
fg gx |
|||
|
|
dx |
|
|
||
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции на отрезке
Если функция f (x) имеет производную в любой точке
некоторого интервала [a, b], то её производная на этом интервале может быть выражена в виде некоторой функции g(x) = f ’(x), которая находится по основным формулам дифференцирования (теорема 1) и правилу нахождения производной сложной функции (теорема 2).
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производные элементарных функций
1. Постоянная функция
f (x) = c, где с – константа.
f (x) lim |
f (x x) |
f (x) |
lim |
c c |
0 |
x |
|
x |
|||
x 0 |
|
x 0 |
|
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производные элементарных функций
2. Показательная функция
f (x) ax , |
a 0, |
a 1 |
(ax ) lim |
ax x ax |
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
lim |
ax (a x 1) |
ax lim |
a x 1 |
ax ln a |
x 0 |
x |
x 0 |
x |
|
Отсюда заключаем: (ex ) ex .