Дифференциальное исчисление
Лекция 3
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Логарифмическое дифференцирование
Пусть функция f (x) > 0.
По теореме о производной сложной функции:
ln f (x) f 1(x) f (x)
Выразим отсюда производную:
f (x) f (x) ln f (x)
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Логарифмическое дифференцирование
Пример 1: |
|
Найти производную функции y xn , |
n N. |
Решение:
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной сложной функции вида
y f (x) g(x),
представляющей собой «функцию в степени функция».
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Логарифмическое дифференцирование
Пример 2: |
|
|
Найти производную функции y |
|
cos x. |
x |
||
Решение: |
|
|
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция у переменной х задана параметрически:
|
x (t), |
y (t), |
t T |
где функции (t), |
(t) определены в некоторой окрестности |
||
точки t0. |
|
|
|
Предположим, что функция x = x (t) имеет обратную функцию
t = t (x), определённую в некоторой окрестности точки x0 = x (t0), а также существуют производные x’(t0) и y’(t0).
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
yt |
|
||
x |
x |
|||||||||||
yx yx t(x) yt |
tx |
yt |
||||||||||
|
|
yt (t0 ) |
|
|
|
|
t |
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда: yx (x0 ) |
xt (t0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции, заданной параметрически
Пример:
Найти производную
dy |
функции, заданной уравнениями |
|
dx |
||
|
x 2sin 2t, |
y cos2 t. |
Решение:
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции, заданной неявно
Пусть функция у переменной х задана неявно уравнением
F (x, y) 0
Для нахождения у’х :
1.Дифференцируем тождество по переменной х как сложную функцию, предполагая, что у = f (х).
2.Из полученного уравнения пытаемся выразить у’х = f‘ (х).
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Производная функции, заданной неявно
Пример:
Найти производную неявной функции, заданной уравнением e y xy e
в точке х0 = 0.
Решение:
Дифференциальное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Дифференцируемость функции
Определение:
Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0,
если её приращение в этой точке может быть представлено в виде
f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) A x o( x)
где А – некоторое число; о( x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x при
x 0.