Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика МУ к КР ЗФО 24.04

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева»

Г. А. Казунина

МАТЕМАТИКА

Методические указания к контрольным работам

Рекомендовано учебно-методической комиссией направлений подготовки 140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника», 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»

в качестве электронного издания для самостоятельной работы

Кемерово 2013

Рецензенты: Жирнова Т. С. – доцент кафедры математики

Богомолов А. Р. – председатель учебно-методической комиссии направления подготовки 140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника»

Казунина Галина Алексеевна. Математика. [Электронный ресурс]:

методические указания к контрольным работам для судентов направлений подготовки 140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника», 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника» заочной формы обучения / Г. А. Казунина - Электрон. дан. - Кемерово: КузГТУ, 2013. - Систем. требования: ПК, поддерживающий Microsoft Windows97 и выше. - Загл. с экрана.

Приведено содержание контрольных работ, которые необходимо выполнить в 1 и 2 семестре, а также рекомендации по их выполнению, развернутый теоретический материал по сложным разделам дисциплины, ссылки на литературу и электронные издания, которые можно использовать при выполнении контрольных работ.

©КузГТУ ©Казунина Г. А.

ВВЕДЕНИЕ

Согласно рабочей программе дисциплины «Математика» направлениий подготовки 140100.62 «Теплоэнергетика и теплотехника» и 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», для студентов заочной формы обучения предусмотрено выполнение двух контрольных работ (в первом и во втором семестрах).

В представленном пособии приводятся содержание и конкретные задания, входящие в контрольные работы. По сложным разделам дисциплины дается развернутый теоретический материал и подробно разобранные примеры решения задач. Контрольные вопросы по каждой работе предназначены для ее защиты и подготовки к экзамену.

1 СЕМЕСТР

Контрольная работа № 1

Контрольная работа выполняется по следующим разделам дисциплины:

1.Математический анализ функции одной действительной переменной

2.Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия

3.Математический анализ функции нескольких переменных

Работа включает 20 задач. Студент выбирает вариант по номеру в списке группы. Задачи, включенные в вариант, выбираются по столбцу.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Задание 1	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	1.10	1.1	1.2
	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	2.10	2.1	2.2
	3.1	3.2	3.3	3.1	3.2	3.3	3.1	3.2	3.3	3.1	3.1	3.2
	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	4.10	4.1	4.2
Задание 2	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	1.10	1.1	1.2
	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	2.10	2.1	2.2
Задание 3	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	1.10	1.1	1.2
	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	2.10	2.1	2.2
	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9	3.10	3.1	3.2
	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	4.10	4.1	4.2
Задание 4	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2
Задание 5	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.1	1.2
	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.1	2.2
	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5	3.1	3.2

	4.1	4.2	4.3	4.1	4.2	4.3	4.1	4.2	4.3	4.1	4.2	4.3
Задание 6	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2
Задание 7	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2
Задание 8	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2
Задание 9	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2
Задание 10	1	2	3	4	5	6	7	8	1	2	3	4

ЗАДАНИЯ.

Задание 1. Пределы. Непрерывность.

Литература [1,2,3,4,5]

1.Раскрыть неопределенности:

3	8x3 +1	,	2) lim	4x2 +1	,	3)
1) lim	x			x
x→∞			x→∞

lim 4x2 +1

x→−∞ x

4)	lim	(n + 2)!+(n +1)!	,	5) lim	2x + 2−x	,	6)

	n→∞ (n + 2)!−(n +1)1			x→∞ 2x − 2−x

x2 + 4x −5 lim 2

x→1 x −1

lim

6 − x −1

2x − x2

3 −

4 + x

x→2

−3x + 2

x→5

lim

5x2 − 4x +1

10)

lim

− 4x3 −1

3 − 4 + x

3 −5x − x3

x→∞

2.Раскрыть неопределенности, используя эквивалентные бесконечно малые функции:

1)	lim		x		,	2)	lim arcsin 2x
	x→0		1+ x −1				x→0	x
lim		1 − cos3x		,
x→0		xsin 2x
5)		lim	1 − e4 x			6)	lim ln(1 − 3x2 )
		x→0	sin 2x				x→0	x sin 5x
lim	1 − cos 4x
x→0		x sin 5x		,

, 3) lim	arctg4x	, 4)

x→0 exp(2x) −1

7)	lim	arctg(x3 )
		x sin 2x2	8)
	x→0

lim

ln(1 −5x2)

lim

4 sin 2x

x→0 exp(x2 ) −1

10) x→0 arcsin 2x

3. Раскрыть неопределенности:

x +1 x

2x +1

3) lim(1 − 2x3 )

lim

2) lim

x→∞

2x + 3

x→∞ 2x + 3

x→0

4.По формулам функций схематически построить их графики. В точках разрыва вычислить односторонние пределы и указать характер точек разрыва:

y =1/ | x2 − 4x +3 |; 2) y = exp(−1/ x2 ) ;

z =1/ ln(t) ;

(x − 2)

y = arctg(1/ t)

;

y = arctg(1/ t2 ) ,

6) y

x +5

−

y =

−3 ,

−

y = arcc tg(1/ t2 )

y = arcсtg(1/ t)

y =

10).

x − 5 ,

Контрольные вопросы:

1.Свойства функций: четность, периодичность, монотонность, нули функции.

2.Свойства и графики основных элементарных функций: степенная, показательная , логарифмическая, тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные гиперболические функции

3.Дайте определение обратной функции. Для указанных функций найти выражение для обратной функции. Построить в одних координатных осях

графики прямой и обратной функций:	y =	1 arctgx ,
		2

4.Первый замечательный предел

5.Второй замечательный предел

6.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются

четными

7.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются

нечетными

8.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются

бесконечно малыми в окрестности нуля.

9.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются ограниченными на бесконечности

10.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются

бесконечно большими в окрестности нуля

Задание 2. Производная и ее вычисление.

Литература [1,2,3 ,4,5]

1.Вычислить производные, используя линейность операции дифференцирования и правила дифференцирования произведения и частного:

1) y = z2 arctg(z) ;					2) y = (t +1) tg(t) ;					3) y = 4 sin(x) cos(x) ;
4) y = exp(t) sin2 (t) ;					5) y = x2 exp(x) ln(x) ;					6) y = sin(t) + cos(t)
										sin(t) − cos(t) ;
	2		− 5z + 6				t
7)	y =	z		;	8) y =				;	9) y = arcsin(x)
		2	+ z + 7			2	+ 3	t
		z								arccos(x) ;

10)y = (x2 −7x +8)exp(−x)

2.Вычислить производные, используя правило дифференцирования сложной функции (выписывать цепочку промежуточных переменных):

1)y(t) = 3 (3t −8)5

2)y = 3 (1 − z3 )(z3 +1)

3)y = exp(−t) ln(2t +1)

4)	y = ctg(x2 ) − tg2 (2x)
5)	y = arctg(exp(−t))
6)	y = ln(ln(ln(x)))

=tg2 (x)

7)y tg(x2 )

8) y = 2x2 + x2 +1

9) y = t + t + t + t

10) y = 3 1− x3

1+ x3

y = (1 − x)100

x(t) = Acos(Ωt +ϕ)

y(z) = exp(−z2 / 2) y = 2x log4 (x)

y = ln(sin(z)) y = ln 11 −+ xx

	1 12
y = z +
	z
y = ln(z +	1 + z2 )

y = t{sin(ln(t)) + cos(ln(t))}

y = ln(arctg5x)

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение дифференцируемой функции и производной в точке.

2.Дайте определение дифференциала функции. Геометрический и физический смысл дифференциала

3.В чем состоит геометрический смысл производной?

4.В чем состоит физический смысл производной?

5.Как связаны производные прямой и обратной функции?

6.Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

Задание 3. Основные методы интегрирования.

Литература: [1, 2, 3 ,5]

1.Найти интегралы, пользуясь подведением производной под знак диффе-

ренциала ∫ f (t(x)) t′(x)dx = ∫ f (t)dt :

	∫ 1 − x2					1
1)						arcsin(x) dx
	∫		x2				dx
3)			(1 + x3 )4
5)	∫		1			dx
			x ln	4	(x)

7)	∫x3				x4 +2dx
9)	∫		x	dx
					x +1
2.	Найти интегралы
	∫				1			dx
1)		(x +1)(2x +3)

3)∫(x +1)2 dx

x2 +1

5)	∫			x +5	dx
5)	∫	x	2	+2x +2	dx
		x		+2x +2
7)	∫		x	2 1	dx
			x	+2x +5

2)	∫ex cos(ex )dx
4)	∫	3x	9	x dx
		1−	9

∫(x3 + 3x2 −1 / 4)

6)(x4 + 4x3 − x + 3)5 dx


8)	∫		sin(x)		dx
			(1+cos(x))3
10)	∫	cos4 (x)
				dx
		sin2 (x)

		x	2
2)	∫		+1				dx
		x	2
			−1
4)	∫	x5			dx
		x +		1
					x −4
6)	∫								dx
			4x −3 − x2
8)	∫				x			dx,
			x	−		3
								x

9) ∫	dx	,	10) ∫	dx	,
	3x +3	x2		x x4 −1

Найти интегралы, используя формулу интегрирования произведения

(интегрирование по частям) ∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) − ∫u′(x)v(x)dx.

∫x exp(5x)dx

∫x cos(2x)dx

∫x2 ln(x)dx

∫x2 exp(x)dx

∫xctg2 xdx

∫arcsin2 xdx

∫arcsin(4x)dx

∫arctg(3x)dx

∫ln2 xdx

10)

∫ln(1+ x2 )dx

Вычислить интегралы:

2) ∫cos4 (x) dx

∫sin3 (x) cos4 (x) dx

3) ∫tg5 (x) dx

∫

∫ctg4 (x) dx

6) ∫

cos3 (x)

sin2 (x) cos2 (x)

sin5 (x)

∫

8) ∫ x2 − 4x + 3 dx

9) ∫x 2x − x2 dx

+ cos(x)

10) ∫

1 − x

Задание 4. Применение определенного интеграла к решению задач геометрии и физики.

Литература [1,2,5]

Вычислить определенные интегралы

π / 3

∞

xdx

∞

∫(tgx)

dx ,

2) ∫

dx ,

∫

4) ∫

x(ln x)

+ x

π / 6

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:

y = 4 − x2 , x2 + 2x + y = 0 , x2 − 2x + y = 0

2)y = x − 4; y = 4 − x; x = 8

3..Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями, вокруг заданной оси:

y = a −	x2	,	x + y = a, a > 0	вокруг оси 0 y
y = a −	a	,	x + y = a, a > 0	вокруг оси 0 y
1)	a
y = 4 − x2 ,			y = 0 вокруг оси	x = 3
2)

4. Найдите длину дуги кривой:

y = 2 + arcsin x + x − x2 , x [1/ 4, 1]

5.Определите работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости плотности

γ.из емкости в форме полушара радиуса R

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение понятия « определенный интеграл». Условие существования определенного интеграла (интегрируемость функции)

2.Геометрический смысл определенного интеграла

3.Формула Ньютона-Лейбница

4.Оценка определенного интеграла. Формула среднего значения

5.Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

6.Несобственный интеграл от неограниченных функций

7.Признак сходимости несобственных интегралов

8.Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона

Задание 5. Степенные ряды и их применение.

Литература [1,2, 3,4,5]

1. Получить разложения в ряд Маклорена для основных элементарных функций: 1) sin x 2) cos x 3) exp x 4) ln(1 + x) 5) arcsin x

2.Используя таблицу разложений функций в ряд Маклорена, разложить функцию в ряд с заданной точностью о(xn ) . Для бесконечно малых указать степенной порядок малости:

1)	2x −sin 2x ;	о(x7 )	2) chx + cos x − 2 ;	о(x8 )
3)	exp(−2x +1);	о(x4 )	4) arctgx −arcsin x;	о(x7 )
5)	3 8 + x9 − 2; о(x11)
5)

3. Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции при больших значениях переменной (найти асимптоты графика функции наклонные или горизонтальные):

1)	y=3 x3 −x2	2)	y = 4 x4 +4x3	3) y = x3 arcsin(1/ x2 )
4)	y = x + x2 −2x	5)	y =(x −2)exp(−1/ x)

4.Написать формулы для приближенного вычисления интегралов при помощи разложения функций в степенной ряд. Указать область сходимости ряда.

x	2	)dt	x	sin t	dt	x	ln(1+t)	dt
∫exp(−t		)dt	∫	t	dt	∫	t	dt
1) 0		2)	0	t		0	t
		2)				3)

Контрольные вопросы:

1. Числовой ряд. Определение суммы ряда

2.Ряд из членов геометрической прогрессии. Условия сходимости. Приведите примеры.

3.Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд

4.Критерий сходимости числового ряда с неотрицательными членами

5.Достаточные условия сходимости ряда. Признак сравнения

6.Достаточные условия сходимости ряда. Признак Даламбера

7.Достаточные условия сходимости ряда. Признак радикальный Коши

8.Достаточные условия сходимости ряда. Интегральный признак. Условия

	∞	1
	сходимости ряда∑	1
	сходимости ряда∑	α
	n=1	n

9. Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Задание 6.. Применение производной к исследованию функций.

Литература [1,2,3,4,5]

Провести полное исследование и построить графики функций (область определения, четность, нули функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты, поведение при больших значениях аргумента – наклонные и горизонтальные асимптоты, локальные экстремумы, точки перегиба):

y = 8(x −1)

+ x +1

y = x / 2 −arctg(x) 4) y = 3x − 2

2) y =

− 2x +1

(x +1)2

x2 −1

x3 + 2x2

y =1 + xex

6) y = x ln

y =

(x −1)2

y = 3 x2 (x − 6) ,

9) y = (x − 2) exp(−1 / x) ,

10)

y =

x2 −1

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение точки локального экстремума функции

2.Сформулируйте необходимые условия существования экстремума

3.Сформулируйте достаточные условия существования экстремума

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические указания для контрольной работы

#
16.03.201636.49 Кб11Автор Приложение к КР (данные для статистики).xlsx
#
16.03.20161.05 Mб23Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf