Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика МУ к КР ЗФО 24.04

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

		51
	y(t) = 2 − 2e−t + (e−(t−a) + (t − a) −1) η(t − a) − (e−(t−b) + (t − b) −1) η(t − b) =
	2 −2e−t ;	0 < t < a;
=	2 − 2e−t + e−(t−a) + t − a −1 =1 − a − 2e−t + e−(t−a) + t; a < t < b;

1−a −2e−t +e−(t −a) +t −e−(t −b) −t +b +1 = 2 −a +b −2e−t +e−(t−a) −e−(t−b) ; t > b.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений операторным методом

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

x′ = a11 x +a12 y + f1 (t)y′ = a21 x +a22 y + f2 (t)

c начальными условиями x(0) = x0 ; y(0) = y0 .

Считая функции x(t); y(t); f1 (t); f2 (t) функциями-оригиналами

и переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений относительно переменных X ( p), Y ( p) :

( p −a11 ) X ( p) −a12Y( p) = x0 + F1 ( p)−a21 X ( p) +( p −a22 )Y( p) = y0 + F2 ( p).

Решая эту систему методом исключений, методом Крамера или матричным методом, находим изображения X ( p), Y ( p) . Возвращаясь к оригиналам, получаем решение:

x(t) X( p); y(t) Y( p).

Рассмотрим более подробно матричный метод решения полученной алгебраической системы, вводя следующие матрицы:

	p − a			− a	−
A( p) =		11		12	−	матрица коэффициентов системы;
		− a21		p −a22		матрица коэффициентов системы;
X$		X ( p)	−
X$	( p) =		−	матрица искомых функций;
		Y( p)		матрица искомых функций;

					52
x		+ F	( p)	−
B( p) =	0	1		−	матрица, включающая начальные условия и изо-
y	0	+ F	( p)		матрица, включающая начальные условия и изо-
	0	2

бражения правых частей.

Исходная система записывается как матричное уравнение:

A( p) X$( p) = B( p),

решением которого является матрица:

X$( p) = A−1 ( p)B( p) = G( p)B( p).

Здесь A−1 ( p) = G( p) называется преобразователем Лапласа фундаментального решения системы или матрицей Грина. По правилу нахождения обратной матрицы получаем:

G( p) =					1							p −a22			a12
													a		p −a	.
	p2	−(a	+a		) p +(a	a		−a		a						.
	p2	−(a	+a	22	) p +(a	a	22	−a	21	a	)			21
		11		22	11		22		21	12				21	11

Оригинал G(t) матрицы G( p) называют матричной функцией отклика,

фундаментальным решением или матричной функцией Грина:

g		(t)	g	(t)
G(t) =	11		12
		(t)
g21		(t)	g22 (t) .

Таким образом, решение системы записывается в виде матрицы:

X ( p)

g11( p)

g12

( p) x0

+ F1( p)

X ( p) =

( p)

+ F

Y ( p)

( p) y

( p)

=g11( p)x0 + g12 ( p) y0 + g11( p)F1( p) + g12 ( p)F2 ( p) .g21( p)x0 + g22 ( p) y0 + g21( p)F1( p) + g22 ( p)F2 ( p)

Переходя к оригиналам в каждой из строк этой матрицы, получаем окончательное решение системы:

$		X ( p)		X (t)	$
X ( p) =					= X (t).
	Y( p)		Y(t)

Пример 7. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

	53
dx	= 2x −9y +e5t ;


dt		x(0) = 1; y(0) = 0.
dy	= x +8y;

dx

Переходя к изображениям:

x(t) X ( p); y(t) Y( p);

x′(t) pX ( p) − x(0) = pX ( p) −1; y′(t) pY( p) − y(0) = pY( p),

получаем систему алгебраических уравнений:
		1			1
pX ( p) −1	= 2 X ( p) −9Y( p) +		( p −2) X ( p) +9Y( p) =1	+		,
pX ( p) −1	= 2 X ( p) −9Y( p) +	p −5,	( p −2) X ( p) +9Y( p) =1	+	p −5	,
		p −5,			p −5

pY( p) = X ( p) +8Y( p);			− X ( p) +( p −8)Y( p) = 0.

Матрица A( p) этой системы имеет вид:

A( p) =

p −2

−1

p −8

обратная матрица

A−1 ( p) = G( p):

G( p) =

p −8 − 9

p −

( p −

p2 −10p + 25 1

5)2 1

p − 2

			1
	1	+
	1	+	p −5
Введем матрицу	B( p) =		p −5	.
			0
			0

X ( p)

p −8

−9 1

X ( p) =

=G( p)B( p) =

p −5

Y( p)

( p −5)

p −2

( p −8)

p −8

−

8 +

( p −5)

( p −5)2

( p −5)3

( p −5)2

p −5

( p −5)

( p −

X ( p) =

p −8

(( p −

8)ept )′

+ 1 (( p −8)ept )″

( p −5)2

( p −5)3

p=5

= (ept +( p −8)tept )

p=5 + 12 (tept +t2( p −8)ept +te5t )

p=5 =

3t2

=e5t −3te5t +

(te5t −3t2e5t +te5t =e5t −2te5t

−

2 e5t =

1 2

Y( p) =

2 t e

= y(t).

( p −5)2

( p −5)3

Решение системы имеет вид:

−2t −

t 2

X$(t) = e5t

p=5

x(t);

Задания контрольной работы

Решите дифференциальные уравнения

Условия задачи

Ответ

2.61

y′′ + y = t 3 + 6t

′

= 0

y(0) = y (0)

y′′ + y = cost + sin 2t

t sin t

sin t

sin 2t

2.62

y(0) = y′(0) = 0

−

2.63

y′′′ + y′ =10e2t

e2t

+ 4 cos t − 2 sin t − 5

′

′′

y(0) = y (0)

= y (0) = 0

2.64

− y = et

e−t +

2t − 3

(cost + sin t))

y(4)

′

′′

′′′

= 0

y(0) = y (0)

= y (0) = y (0)

2.65

y′′ −5y′ + 6y = 2 cos3t

−

cos3t +

sin 3t

′

y(0) = y (0) = 0

y′′ + 2 y′ + y = x(t)

(1 − e−t

)η(t) +

2.66

y(0) = y′(0) = 0

− te−t

t (−∞; 0)

+ 2(1 − e−(t −2) − (t − 2)e−(t −2) )η(t − 2)

x(t) =

t [0; 2]

t (2; ∞)

2.67

Ty′ + y = x′ y(0) = 0

x(t) − прямая, заданная на отрезке [0;T1 ] x(0) = −2, x(T1 ) = − 4

			t
2		−
2		−
	e		T
T	e		T
T
1

−1 η(t)

		1
	−		(t−T1)
	−	T	(t−T1)
+ 1	− e	T		η(t −T )
					1

Тема 6. Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Теоретическое введение

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Y ( p) = H ( p)X ( p) .

Пусть входное воздействие является импульсной функциейδ(t). По-

скольку δ(t) 1, изображение выходного сигнала совпадает с передаточной

функцией:

Y ( p) = H ( p) .

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

w(t) H( p).

Поскольку изображение выходного сигнала Y ( p) является произведени-

ем изображений, то и оригинал y(t) можно представить как свертку оригиналов x(t) иw(t) :

t t

y(t) = ∫w(τ)x(t −τ)dτ = ∫w(t −τ)x(τ)dτ.

0 0

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′+ y′ = x(t) , y(0) = y′(0) = 0.

Взяв в качестве правой части импульсную функцию x(t) = δ(t) и пере-

ходя к изображениям, получим передаточную функцию:

H ( p) :

p2Y( p) + pY( p) = x( p) =1,

H( p) =	Y( p)	=	1	.
	X ( p)		p( p +1)

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

w(t) = (1−e−t )η(t).

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t), можно найти решение дифференциального уравнения.

Пусть x(t) =e2tη(t).

Тогда

t				t
y(t) = ∫x(t −τ)w(τ)dτ = ∫e2(t−τ) (1−e−τ )dτ =
0			0
t
= e2t ∫(e−2τ −e−3τ )dτ = e2t (− 1 e−2τ							0 +	1 e−3τ	0 ) =
							t		t
0					2			3
					2			3
	1		1		1
= (−	1	+	1	e−t +	1	e2t )η(t).
= (−	2	+		e−t +	6	e2t )η(t).
	2		3		6

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′+ y = x(t) , y(0) = 0. .

Правая часть уравнения задана функцией

x(t)

0, t < 0,

x(t) = t +1, 0 ≤ t < 2,

0, t ≥ 2.

Для применения формулы свертки следует записать x(t) , используя ступенчатые функции Хевисайда:

x(t) = 21 t +1 η(t) − 21 (t −2) +2 η(t −2).

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид w(t) = e−tη(t), получаем решение y(t) :

								1		t										1		t
	y(t) =							1		∫(τ +2)e−(t −τ) dτ −										1		∫(τ +2)η(τ −2)e−(t −τ)η(t −τ)dτ =
	y(t) =						2			∫(τ +2)e−(t −τ) dτ −									2			∫(τ +2)η(τ −2)e−(t −τ)η(t −τ)dτ =
							2		0										2		2
					1					t														1					t
	=						e−t ∫(τ +2)eτ dτ η(t)														−						e−t ∫(τ +2)eτ dτ η(t −2)									=
	=				2		e−t ∫(τ +2)eτ dτ η(t)														−			2			e−t ∫(τ +2)eτ dτ η(t −2)									=
					2					0														2					2
	=			1		e−t {(τ +2)eτ −eτ }												0t η(t) −								e−t			{(τ +2)eτ −eτ }						2t η(t −2) =
				1																						e−t
				2																						2
				2																						2
=		1	e−t (tet + 2et −et														−1+)η(t) −						e−t					(tet + 2et − et						− 4e2 + e2 )η(t − 2) =
=	2		e−t (tet + 2et −et														−1+)η(t) −											(tet + 2et − et						− 4e2 + e2 )η(t − 2) =
	2																								2
									1					1		1									1					1		3
					=						t +				−		e−t η(t)		+		−							t −			+		e−(t −2)	η(t −2) =
					=				2		t +			2	−	2	e−t η(t)		+		−				2			t −		2	+	2	e−(t −2)	η(t −2) =
									2					2		2									2					2		2
									=			1	(t −e−t +1)η(t) +									1		(−t −1+3e−(t−2) )η(t −2).
									=		2		(t −e−t +1)η(t) +								2			(−t −1+3e−(t−2) )η(t −2).
											2										2

Другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки основан на формуле Дюамеля. Характеристикой

системы в этом случае служит переходная функция h(t) , которая определяется как реакция (отклик) системы на постоянное воздействие

x(t) =η(t)		1	:
		p

Y ( p) = H( p) X ( p) =	H( p)			;	h(t) Y ( p).

1		p			1

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функция w(t) и h(t) связаны соотношениями:

h(t) = ∫w(τ)dτ, h′(t) = w(t).

С учетом того, что

H( p) = pY1 ( p) ,

Y( p) = H( p) X ( p) = pY1 ( p) X ( p),

оригинал y(t) можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

t	t
y(t) = h(0)x(t) + ∫h′(τ)x(t −τ)dτ = h(0)x(t) + ∫h′(t −τ)x(τ)dτ =
0	0
t	t
= h(t)x(0) + ∫x′(τ)h(t −τ)dτ == h(t)x(0) + ∫x′(t −τ)h(τ)dτ.
0	0
Заметим, что при условии	h(0) = 0 две первых формы записи решения
совпадают с записью

y(t) = ∫w(τ)x(t −τ)dτ.

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использовать для непрерывных

функций x(t) . В том случае, если функция x(t) имеют точки разрыва первого

рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения.

Например, если правая часть x(t) имеет вид:

f (t), 0 < t ≤ T; x(t) = 0, t > T,

L{x′(t)}= pF( p) − f (0) + f (T)e−pT ,

то и формула Дюамеля принимает вид:

Y( p) = pY1 ( p) X ( p) = (pY1 ( p) X ( p) − x(0)Y1 ( p) + x(T)e−pT Y1 ( p))+

+x(0)Y1 ( p) − x(T)e−pT Y1 ( p) =

=Y1(p)(px(p) − x(0) + x(T)e−pT )+ x(0)Y1(p) − x(T)e−pTY1(p).

Переходя к оригиналам, получаем

y(t) = x(0)h(t)η(t) +∫x′(τ)h(t −τ)dτ −x(T)h(t −T)η(t −T).

Применим формулу Дюамеля для решения примера 9.

Пример 9 (продолжение)

Производная функции, стоящей в правой части уравнения равна:

x′(t) =	1	(η(t) −η(t −2)).	x′(t)
x′(t) =	2	(η(t) −η(t −2)).	x′(t)
	2
			1/2
			0		2	t
Переходная функция системы имеет вид:				)η(t).
		h(t) = (1− e−t		)η(t).

Тогда вычисляя по формуле

y(t) = x(0)h(t) +∫x′(t)h(t −τ)dτ − x(T)h(t −T)η(t −T)

с учетом того, что x(0) =1, x(2) = 2 , получаем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические указания для контрольной работы

#
16.03.201636.49 Кб11Автор Приложение к КР (данные для статистики).xlsx
#
16.03.20161.05 Mб23Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf