VbIshka / Методические указания для контрольной работы / Математика МУ к КР ЗФО 24.04
.pdf11
4. Дайте определение точки перегиба графика функции и сформулируйте необходимые условия его существования
Задание 7.. Системы линейных уравнений.
Литература [2,3,5]
Каждую систему линейных уравнений решите тремя способами:
• Методом обратной матрицы AX = B X = A−1B
•Методом Крамера
•Методом Гаусса (элементарных преобразований)
|
x |
+ 2 y |
− z |
= 2 |
1) |
7x |
− y |
−7z = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 y −5z = −2 |
|||
|
2x |
+ y |
|
= 5 |
|
|
|
+ 3z |
=16 |
|
x |
|
||
3) |
|
5y |
− z |
=10 |
|
||||
|
2x − y − 2z = −1 |
5) |
3x + 2 y −5z = −2 |
|
|
|
x + 2 y − z = 2 |
|
3x + 2 y + z = 5 |
7) |
2x + 3y + z =1 |
|
|
|
2x + y +3z =11 |
|
4x −3y + 2z = 9 |
|
|
|
2x + 5y −3z = 4 |
9) |
|
5x + 6 y − 2z =18 |
|
2x |
− y |
+ z |
= −2 |
2) |
|
+2 y +3z = −1, |
||
x |
||||
|
|
−3y |
−2z |
= 3 |
|
x |
|||
x + 3y − z = 3x − y − z = −1
4)3x + 2 y −5z = −2
2x − y − z = 4
6)3x + 4 y − 2z =113x − 2 y + 4z =11
x + 2 y + 4z = 31
8)5x + y + 2z = 203x − y + z = 9
x + y − z =1 |
|
|
|
x − y − z = −1 |
|
|
= −2 |
10) 3x + 2 y −5z |
|
12
Задание 8. Аналитическая геометрия на плоскости.
Литература [2,3,5]
1.Точка A(2,−5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой линии x −2 y −7 = 0 . Вычислить площадь квадрата.
2.Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого яв-
ляются точки A(−3, 1), B(7, 5), C(5, −3) .
3. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей угол 450 с прямой линией y = 2x +5.
4.Точка A(5,−4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x −7 y −8 = 0 . Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
Установите, какие линии определяются уравнениями и схематично их постройте:
5.4x2 +3y2 −8x +12 y −32 = 0
6.16x2 −9 y2 −64x −54 y −161 = 0
x= − 1 y2 + y
7.4
y= −1 x2 +2x −7
8.6
9.Найдите координаты фокуса параболы по координатам ее вершины A(6,−3) и уравнению ее директрисы 3x −5y +1 = 0 .
10. На гиперболе x2 / 2 − y2 = 1 найти точку, ближайшую к точке (3; 0)
Контрольные вопросы:
1.Линейные операции над векторами
2.Векторный базис в пространстве n-измерений. Условия существования базиса.
3.Прямоугольный декартов базис. Координаты вектора в этом базисе. Модуль вектора.
4.Направляющие косинусы. Единичный вектор (орт).
5.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
6.Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
7.Смешанное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.
8.Уравнения прямой на плоскости: с направляющим вектором, через две точки, в «отрезках на осях », с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.
9.Канонические уравнения и характеристики кривых второго порядка
13
Задание 9. Плоскости и прямые в пространстве.
Литература [2,3,5]
1. Найдите угол между прямыми: |
|
||||||||
|
X |
= |
У −1 |
= |
Z |
; |
3Х +У −5Z +1 = 0 |
||
|
|
|
|||||||
1 |
−2 |
3 |
= 0 |
||||||
|
|
|
2Х +3У −8Z +3 |
||||||
2. |
Найдите угол между прямой 3 Х −У − Z + 5 = 0 |
и плоскостью 4Х–8У+Z– |
|||||||
|
Х −У − Z −1 = 0 |
|
|
|
|
||||
3=0; |
Х −7 |
|
У − 4 |
|
Z −5 |
||||
3. |
Найдите точку пересечения прямой |
= |
= |
||||||
|
|
4 |
|
||||||
|
5 |
1 |
|
|
|
||||
иплоскости 3Х–У+2Z–5=0
4.Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку М (3; 4; 1) перпендикулярно прямой Х=5–t; У=4t; Z= -2+t;
5. Покажите, что прямые |
Х −1 |
= |
У +2 |
= |
Z −5 |
и Х=7+3t; У=2+2t; Z=1–2t |
|||
2 |
|
−3 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
лежат в одной плоскости и найдите её уравнение |
|||||||||
6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямые и найдите |
|||||||||
расстояние между ними: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Х = 2 + 3t |
Х = 7 + 3t |
|
|
|
|||||
|
= −1 + 4t ; |
|
= 1 + 4t |
|
|
|
|||
У |
У |
|
|
|
|||||
|
Z = 2t |
|
= 3 + 2t |
|
|
|
|||
|
Z |
|
|
|
|||||
7.Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямые |
|||||||||
Х = 6 + 5t |
Х = 7 + 5t |
|
|
|
|||||
|
= 2 + 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
У =1 + 3t |
|
|
|
|||||
|
= 4 − 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
Z = 3 − 2t |
|
|
|
|||||
8.Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку М (5; 2; 1) перпендикулярно прямой Х=5–3t; У=2t; Z= 8 + 6t;
9.Найдите угол между прямыми:
X −5 |
= |
У + 2 |
= |
Z −1 |
; |
3Х +У −5Z +1 = 0 |
||
|
|
|||||||
2 |
− 4 |
6 |
= 0 |
|||||
|
|
|
2Х + 3У −8Z + 3 |
|||||
10. Найдите угол между прямой 3Х −У − Z + 5 = 0 |
и плоскостью |
Х −У − Z + 4 = 0 |
|
8Х –16У +2Z +7=0; |
|
14
Контрольные вопросы:
1.Дайте вывод общего уравнения плоскости в пространстве. Дайте определение вектора нормали
2.Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Найдите расстояние от начала координат до плоскости
2x + 3y − 4z −30 = 0
3.Найдите точку пересечения плоскости 2x +8y +16z −16 = 0 с осью 0z
4.Дайте вывод уравнения прямой: канонические, параметрические, через две точки
5.Общее уравнение прямой линии в пространстве. Переход от общего уравнения прямой к каноническому.
6.Условие параллельности плоскостей. Условие параллельности прямых.
7.Условие перпендикулярности плоскостей, условие перпендикулярности прямых. Условие пересечения прямых в пространстве
Задание 10. Функции нескольких переменных.
Литература [2,3,5]
Теоретическое введение.
Вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление функций одной переменной, считая все переменные постоянными, кроме той, по которой ведется дифференцирование.
Первым дифференциалом называют линейную относительно приращений ∆x, ∆y, ∆z часть полного приращения функции, которая
для функции двух переменных имеет вид:
df = ∂∂fx dx + ∂∂fy dy ,
а для функции трех переменных:
df = ∂∂fx dx + ∂∂fy dy + ∂∂fz dz .
Производная по направлению задает скорость изменения функции в за- |
|||
данной точке по заданному направлению a ={cosα, |
cos β, cosγ}: |
||
∂fr = |
∂f (M0 ) cosα + |
∂f (M0 ) cos β + ∂f (M0 ) cosγ . |
|
∂a |
∂x |
∂y |
∂z |
Градиентом дифференцируемой функции называют вектор, координатами которого являются частные производные в заданной точке:
|
∂f (M |
|
) |
, |
∂f (M |
|
) |
, |
∂f (M |
|
) |
grad f (M0 ) = |
∂x |
0 |
|
∂y |
0 |
|
∂z |
0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Производная по направлению является проекцией вектора градиента на это направление:
∂f (Mr 0 ) |
= (grad f (M0 ),ar)= |
|
grad f (M0 ) |
|
cosϕ . |
|
|
||||
∂a |
|
|
|
|
|
Анализ последнего выражения показывает, что градиент является направлением, скорость изменения функции вдоль которого максимальна.
Касательная плоскость содержит касательные ко всем кривым, проходящим через данную точку поверхности z = f (x, y) :
∂f (M0 ) |
(x − x0 ) + |
∂f (M0 ) |
( y − y0 ) −(z − z0 ) = 0 . |
|
∂x |
∂y |
|||
|
|
Для функции f (x, y) определены производные второго порядка:
∂2 f |
= |
∂ |
∂f |
|
∂2 f |
|
∂ |
∂f |
∂2 f |
|
∂ |
∂f |
|||
∂x2 |
|
|
, |
∂y2 |
= |
|
|
, |
|
= |
|
|
, |
||
|
|
∂x∂y |
|
||||||||||||
|
∂x |
∂x |
|
|
∂y |
∂y |
|
∂x |
∂y |
||||||
∂2 f |
= |
∂ |
∂f |
|
|
|
|
. |
|
∂y∂x |
|
|||
|
∂y |
∂x |
||
Для функции f (x, y, z) , кроме указанных выше производных, определены сле-
дующие производные второго порядка:
∂2 f |
= |
∂ ∂f |
|
|||
∂z2 |
|
|
|
, |
||
|
|
|||||
|
∂z ∂z |
|
||||
∂2 f |
|
|
∂ ∂f |
|
||
|
= |
|
|
|
|
. |
∂z∂y |
|
|
|
|||
|
|
∂z ∂y |
||||
∂2 f |
= |
∂ |
∂f |
, |
|
|
|
|
|
||
∂x∂z |
|
||||
|
∂x |
∂z |
|
||
∂2 f |
= |
∂ |
∂f |
, |
|
|
|
|
|
||
∂z∂x |
|
||||
|
∂z |
∂x |
|
||
∂2 f |
= |
∂ |
∂f |
, |
|
|
|
|
|
||
∂y∂z |
|
||||
|
∂y |
∂z |
|
||
Заметим, что в точках непрерывности смешанные частные производные равны. Дифференциалы второго порядка определяются согласно соотношени-
ям:
|
|
|
d 2 f = |
∂2 f dx2 + |
∂2 f |
dy2 |
+2 |
∂2 f |
dx dy |
, |
|
|
|||||
|
|
|
∂y2 |
∂x∂y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d 2 f = |
∂2 f |
dx2 + |
∂2 f |
dy2 |
+ ∂2 f |
dz2 |
+2 |
|
∂2 f |
dx dy +2 |
∂2 f |
dxdz +2 |
∂2 f |
dydz . |
|||
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
∂x∂z |
∂y∂z |
|||||||||||||
|
|
|
∂z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Точкой локального экстремума называют точку непрерывности функции M0 , в окрестности которой приращение функции сохраняет знак:
∆f ≥ 0 - точка локального минимума, ∆f ≤ 0 - точка локального максимума.
Необходимые условия существования экстремума записываются следующим образом:
grad f (M0 ) = 0 ,
что равносильно системе уравнений для нахождения критических точек функции:
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
∂f |
= 0 |
|
∂f |
= 0 |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
= 0. |
||
|
|
или |
∂f |
||
|
∂f |
= 0 |
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
∂f |
= 0 |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
Достаточные условия существования экстремума определяются знаком приращения функции, который в свою очередь определяется знаком второго дифференциала:
∆f ≥ 0 |
|
d 2 f (M0 ) ≥ 0, то точка M0 является точкой локального миниму- |
ма, |
|
d 2 f ≤ 0 , то точка M0 является точкой локального максимума. |
∆f ≤ 0 |
|
По своей структуре второй дифференциал является является квадратичной формой относительно дифференциалов dx,dy, dz и ему ставится в соответ-
ствие матрица:
|
∂2 f |
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
||
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂y∂x ∂z∂x |
|||||||
|
∂2 f |
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
||
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
||||
|
|
∂z∂y |
||||||
|
∂2 f |
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂x∂z |
∂y∂z |
|
∂z |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной, если положительны все главные диагональные миноры этой матрицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 f |
∂2 f |
|
|
|
|
|
|
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
∂2 f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 |
|
∂ ∂ |
|
|
∂ ∂ |
|
|
|||||||
|
|
|
∂2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y x |
|
|
z x |
|
|
|||
∆ |
1 |
= |
> 0 |
, |
∆ |
2 |
= |
∂x2 |
∂y∂x |
|
> 0 |
, |
∆ |
3 |
= |
∂2 f |
|
|
∂2 f |
|
|
∂2 f |
|
> 0 . |
|||||
∂x2 |
∂2 f |
∂2 |
f |
|
∂x∂y |
|
∂y2 |
|
|
∂y∂z |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂2 f |
|
∂2 f |
|
|
∂2 f |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂z |
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|||
(условия существования локального минимума), и является отрицательно оп-
ределенной при условии ∆1 < 0, |
∆2 > 0, |
∆3 < 0 (условия существования |
локального максимума). |
|
|
17
Задания контрольной работы
1.Запишите производные первого и второго порядка для указанной функции в указанной точке.
Запишите выражение для первого дифференциала Запишите выражение для второго дифференциала. Запишите матрицу, соответствующую d2f.
1) |
f (x, y) = ln( X 2 +У); |
M 0 (0;1); |
3) |
f (x, y) = exp( X 2 +У); M 0 (0;1); |
||||
2) |
f (x, y) = exp( X 2У); |
M 0 (0;1); |
4) |
f (x, y) = sin( X 2У); M 0 (0;1); |
||||
5) |
f (x, y) = cos( X 2 +У); |
M 0 (0;1); |
6) |
f (x, y) = |
x2 + y |
M 0 (0;1); |
||
y2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Исследуйте функцию на локальный экстремум: |
|
|||||||
|
1) |
f = X 3 − 2У3 − 3Х + 6У |
|
б) f = 3X 3 +У2 + Z 2 + 6XУ − 2Z +1; |
||||
|
2) |
f = 8 − 6Х + 4У − 2Z − X 2 −У2 − Z 2 |
|
|||||
Список рекомендуемой литературы для изучения дисциплины в 1 семестре
1.Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник для вузов [текст] / В. С.
Шипачев. – М.: Высш. шк., 2012. – 447 с.
2.Алексеев Д. В. Конспекты по общему курсу математики: учеб. пособие для студентов инженерно-технических специальностей [электронный ресурс] / Д. В. Алексеев; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2008.
3.Казунина, Г.А. Математика. 1 семестр: материалы к лекционному курсу: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Г.А. Липина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2012.
4.Алексеев, Д. В. Элементарные аналитические методы и свойства основных элементарных функций: учеб. пособие для вузов [текст] / Д. В. Алексеев, Г. А. Казунина, Г. В. Алексеевская; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 1998. – 92 с.
5.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1: линейная алгебра и основы математического анализа [текст] / под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 461 с.
6.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов [текст] / Д. В. Клетеник. – СПб.: Профессия, 2005. – 200 с.
7.Петрушко, И. М. Курс высшей математики: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление. Лекции и практикум [электронный ресурс] / И. М. Петрушко. – СПб.: Лань, 2009. – 288 с.
18
2 СЕМЕСТР
Контрольная работа № 2
Контрольная работа выполняется по следующим разделам дисциплины:
1.Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.Функции комплексной переменной. Интегральные преобразования
3.Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная работа включает 15 задач и 2 расчетные работы по математической статистике. Выбор варианта – по номеру в списке группы. Задачи, включенные в вариант, выбираются по столбцу.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Задание 1 |
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
1.10 |
1.11 |
1.12 |
|
1.13 |
1.14 |
1.15 |
1.16 |
1.13 |
1.14 |
1.15 |
1.16 |
1.13 |
1.14 |
1.15 |
1.16 |
|
1.17 |
1.18 |
1.19 |
1.20 |
1.21 |
1.22 |
1.23 |
1.24 |
1.25 |
1.26 |
1.27 |
1.28 |
Задание 2 |
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
2.9 |
2.10 |
2.1 |
2.2 |
|
2.11 |
2.12 |
2.13 |
2.14 |
2.15 |
2.16 |
2.17 |
2.11 |
2.12 |
2.13 |
2.14 |
2.15 |
|
2.19 |
2.20 |
2.21 |
2.22 |
2.23 |
2.24 |
2.25 |
2.26 |
2.27 |
2.28 |
2.19 |
2.20 |
|
2.29 |
2.30 |
2.31 |
2.32 |
2.33 |
2.34 |
2.35 |
2.36 |
2.37 |
2.38 |
2.29 |
2.30 |
|
2.39 |
2.40 |
2.41 |
2.42 |
2.43 |
2.44 |
2.45 |
2.46 |
2.47 |
2.48 |
2.49 |
2.50 |
|
2.51 |
2.52 |
2.53 |
2.54 |
2.55 |
2.56 |
2.57 |
2.58 |
2.59 |
2.60 |
2.51 |
2.52 |
|
2.61 |
2.62 |
2.63 |
2.64 |
2.65 |
2.66 |
2.67 |
2.61 |
2.62 |
2.63 |
2.64 |
2.65 |
|
2.68 |
2.69 |
2.70 |
2.71 |
2.72 |
2.73 |
2.74 |
2.75 |
2.76 |
2.77 |
2.68 |
2.69 |
Задание 3 |
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
3.10 |
3.11 |
3.12 |
Вариант ла- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
бораторных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№1 (100 чи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сел) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 2 (X,Y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по 20 чисел) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли);
2.Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка;
3.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Литература [1, 2, 3, 8]
19
Тема1-2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли). Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Теоретическое введение
Функциональное уравнение F(x, y, y′, y′′,Ky(n) ) = 0 ,связывающее независимую переменную x , искомую функцию y(x) и ее производные, называет-
ся дифференциальным уравнением порядка n (порядок уравнения - это порядок старшей производной, входящей в уравнение).
Общим решением дифференциального уравнения называется функция
y=ϕ(x,C1,C2 ,KCn ) , которая будучи подставлена в уравнение, обращает его
втождество. Здесь C1,C2 ,KCn - произвольные постоянные, для определения
которых |
задают |
начальные |
условия: |
y(x0 ) = y0 ; |
y′(x0 ) = y0′;KKy(n) (x0 ) = y0(n) . |
|
|
Задачей Коши для дифференциального уравнения называют задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям. Частное решение определяет кривую на координатной плоскости, которую называют интегральной кривой. Уравнение Φ(x, y,C1,C2 ,KCn ) = 0 , которое определяет
общее решение как неявную функцию, называют общим интегралом диффе-
ренциального уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка разделяют на следующие типы:
• |
Уравнения с разделяющимися переменными y′= f1 (x) f2 ( y) или |
|||||||||||||
|
M (x) N ( y) dx +P(x) Q( y)dy = 0 , которые можно непосредственно ин- |
|||||||||||||
|
тегрировать, собрав с одной стороны от знака равенства выражения, |
|||||||||||||
|
зависящие только от одной переменной: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
f1 (x) dx = |
∫ |
dy |
+C или |
|
M (x) dx = − |
Q( y) |
dy ; |
|
|
|
|||
f2 ( y) |
∫ |
∫ N ( y) |
|
|
|
|||||||||
|
|
P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Однородные уравнения |
′ |
|
y |
|
|
′ |
|
x |
|||||
• |
|
|
|
или |
x |
= f |
|
сводятся к |
||||||
y (x) = f |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|||
уравнениям с разделяющимися переменными при помощи замены:
|
y |
|
du |
|
|
x |
du |
|
u = |
|
; |
y′= dx x +u |
или |
u = |
|
; |
x′= dy y + u ; |
x |
y |
|||||||
• Линейные уравнения |
y′+ P(x) y = f (x) - по переменной y , |
|||||||
|
|
|
|
x′+ P( y) x = f ( y) - по переменной x , |
||||
которые сводятся к разделению переменных подстановкой
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = u(x) v(x); |
y |
′ |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u v + uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
′ |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x( y) = u( y) v( y); |
x |
|
|
, а также методом вариации произволь- |
|||||||||||||
|
= u v + uv |
|
|||||||||||||||
ной постоянной; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Уравнения Бернулли y′+ P(x) y = f (x) ym ; |
m ≠ 0, |
m ≠1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
x′+ P( y) x = f ( y) xm |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Сводятся к линейным уравнениям подстановкой |
z = y1−m , |
z = x1−m ; |
|||||||||||||||
|
Порядок дифференциальных уравнений высших порядков можно |
||||||||||||||||
понизить в следующих случаях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
• |
y(n) (x) = f (x) |
. Общее решение в этом случае находят путем n - крат- |
|||||||||||||||
|
ного интегрирования; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|||
• |
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
Уравнения вида F(x, y , |
y ) = 0 : |
y (x) = z(x), |
y (x) = z (x) ; |
||||||||||||||
• |
|
|
|
′ |
′′ |
|
= 0: |
y |
′ |
= z( y); |
y |
′′ |
|
dz |
dy |
dz |
|
Уравнения вида F( y, y , y ) |
|
|
= dy dx |
= dy z ; |
|||||||||||||
•Уравнения, левая и правая части которых могут быть представлены как полные производные по переменной x от некоторой функции. Интегрируя по переменной x , получаем уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения y′= f (x, y) .
Если функция f (x, y) и частная производная ∂f (∂xy, y) непрерывны
в некоторой области D плоскости 0XY , то для любой точки области существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Геометрически это означает, что через каждую точку области проходит одна единственная интегральная кривая.
Точки, в которых нарушается единственность решения, называются особыми точками дифференциального уравнения. Интегральная кривая, в каждой точке которой нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением этого уравнения. Особое решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной.
Задача нахождения частного решения уравнения y′= f (x, y) при условии y(x0 ) = y0 может быть приближенно решена численными
методами.