VbIshka / Методические указания для контрольной работы / Математика МУ к КР ЗФО 24.04

21

• Метод Эйлера. Значения искомой функции находят по формуле y(xk+1 ) = yk+1 = yk + h f (xk , yk ) ;

Метод разложения в ряд Тейлора. Решение представляют в виде не-

скольких первых членов ряда:

1.9.(x +1)(y′+ y2 ) = −y

1.10.y′x3 sin y = xy′−2y ;

Примеры составления дифференциальных уравнений по условиям задачи.

Задача 1. Поглощение света при прохождении через воду Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Зная, что при прохождении

через слой толщиной 2м поглощается первоначального светового потока, определить, какой процент его дойдет до глубины 12м ?

Общее решение дифференциального уравнения получаем путем разделения переменных . В результате общее решение имеет вид:

что составляет 8,78 первоначального светового потока.

Задача 2

Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс) и подкасательной в любой её точке равна произведению координат точки касания.

Решение.

Из прямоугольного треугольника

23

.

Преобразуем его. Возводим обе части в квадрат.

Разделим обе части на (при условим, что ). откуда

Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение

Задания контрольной работы

По заданным условиям составить дифференциальное уравнение и решить его.

1.13. Скорость остывания пропорциональна разности температур тела (T) и окружающей среды Тс = 20o С. За 10 минут тело остыло со 100oC до

60oC . За какое время тело остынет до 25oC ?

1.14. Найдите ток I (t)в электрической цепи, заданной уравнением

LI′+ RI = E sinωt, I (0) = 0, E = const, ω = const

1.15.В начале семестра один день тянется как два. Через три месяца два дня тянутся как один. К началу сессии времени ни на что не хватает. Найдите

время начала сессии t0 , если скорость течения времени обратно пропорциональна квадратному корню из времени, оставшегося до сессии.

1.16.Найти кривую, проходящую через точку , зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Теоретическое введение

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

y(n) + an−1 y(n−1) + an−2 y(n−2) +KK+a1 y′+ a0 y = 0

24

находят как линейную комбинацию фундаментальных (линейно независимых или базисных) решений y1 (x), y2 (x),KKyn (x) :

y00 =C1 y1 (x) + C2 y2 (x) +KKCn yn (x) .

Базисные решения определяются корнями характеристического уравнения, которое получается из исходного уравнения заменой производных

y(k ) на λk :

λ(n) + an−1λn−1 + an−2λn−2 +KKa1λ +a0 = 0.

•Каждому действительному корню λ кратности r в общем решении

соответствует решение:

(C0 +C1x +C2 x2 +KKCr−1xr−1 ) eλx ;

• Каждой паре комплексно сопряженных корней α ±i β кратности r

соответствует решение:

Согласно этому правилу решения однородных уравнений 2-го порядка

записываются следующим образом:

•Если корни характеристического уравнения λ2 + a1λ +a0 = 0 действительные и различные λ1 ≠ λ2 , то y00 = C1eλ1 x +C2 eλ2 x ;

•Если корни характеристического уравнения λ2 + a1λ +a0 = 0

действительные и одинаковые (кратность к = 2) λ1 = λ2 = λ0 , то

y00 = ( C0 +C1x) eλ0 x ;

• Если корни характеристического уравнения λ2 + a1λ +a0 = 0

комплексные λ1,2 =α ±i β , то y00 = eα x (C1 cos βx +C2 sin βx) .

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

y(n) + an−1 y(n−1) + an−2 y(n−2) +KK+a1 y′+ a0 y = f (x)

находят как сумму y(x) = y00 (x) + y(x) , где y(x) - любое частное решение исходного неоднородного уравнения, y00 - общее решение соответствующего однородного уравнения. При этом частное решение y(x) определяется правой

25

частью уравнения f (x) и может быть найдено методом вариации произвольной постоянной или методом подбора по правой части

специального вида

f (x) = (an xn +an−1xn−1 +an−2 xn−2 +KK+a1x + a0 ) e(α+iω) x .

Если число α ± iω является корнем характеристического уравнения

(прочитайте в пояснениях к заданию 2, что такое мнимая единица, комплексное число, формула Эйлера), соответствующего данному неоднородному уравнению, кратности r , то частное решение подбирается в

решение подбирается в виде многочлена той же степени, но с произвольными коэффициентами

y = (bn xn +bn−1xn−1 KKb1x +b0 ) xr ,

где r - кратность корня λ =α ±iω = 0 характеристического уравнения;

•Правая часть – многочлен, умноженный на экспоненту с действительным показателем

f (x) = (an xn +an−1xn−1 +KK+a1x +a0 ) eα x ,

то и частное решение подбирают в виде экспоненты, умноженной на многочлен той же степени:

y = eα x (bn xn +bn−1xn−1 KKb1x +b0 ) xr ,

где r - кратность корня λ =α ±iω =α характеристического уравнения;

•Правая часть-многочлен, умноженный на тригонометрическую функцию

1)f (x) = (an xn +an−1xn−1 +KK+a1x +a0 ) соsω x

2)f (x) = (an xn +an−1xn−1 +KK+a1x +a0 ) sinω x

или сумма этих выражений. Тогда частное решение подбирается в виде

z = eiω x (bn xn + bn−1xn−1 KKb1x + b0 ) xr ,

26

где r - кратность корня λ =α ±iω = ± iω характеристического уравнения.

При этом в первом случае y = Re z , а во втором случае y = Im z .

Замечание. Также в случае, когда правая часть уравнения имеет вид

f (x) = (ak xk + ak −1xk −1..... + a1x + a0 ) cosωx +(lm xm +lm−1xm−1....l1x +l0 )sinωx

и, ± iω не являются корнями характеристического уравнения, частное решение в этом случае может быть подобрано в виде

y = (cn xn + cn−1xn−1 +KK+ c1x + c0 ) соs ω x + (bn xn + bn−1xn−1.....b1x + b0 ) sin ωx

,где max(k, m) .

Втом случае ± iω являются корнями характеристического уравнения

кратности r , частное решение в этом случае может быть подобрано в виде

y = xr ((cn xn + cn −1xn −1 +KK+ c1x + c0 ) соsω x +(bn xn +bn −1xn −1.....b1x +b0 )sinωx)

Задания контрольной работы

Для заданных дифференциальных уравнений выписать характеристические уравнения и базисные решения (фундаментальную систему решений), записать общее решение однородного уравнения, найти частное решение неоднородных уравнений методом неопределенных

коэффициентов′′

1.17. y − 4 y = sin x

1.18. y′′+ 3y′+ 2 y = exp 2x

1.19. y′′+ 2 y′+ y = cos x

1.20. y′′+ 4 y′+5y = x

1.21. y′′−4y = e2 x

1.22. y′′+ 2y′+ y = x2 −1

1.23. y′′+ 4y′+5y = e3 x

27

1.24.y′′+ 9 y = sin 3x

1.25.y(4) + y′′ = x,

1.26.y(4) + y′′ = x2

1.27.y′′−6y′+ 25y = e4x (17x2 + 38x + 40)

1.28.y′′−9 y = sin 3x

Контрольные вопросы

1.Что является решением дифференциального уравнения? Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения

2.Определите тип дифференциального уравнения:

5. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

ЗАДАНИЕ 2. Функции комплексной переменной

1.Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи. Действия с комплексными числами

2.Функции комплексной переменной. Аналитические функции

3.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление контурных и несобственных интегралов при помощи вычетов.

4.Преобразования Лапласа.

5.Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений операторным методом.

28

6.Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формулы Дюамеля, Грина).

Литература [1,2, 3, 4, 5]

Тема 1. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи. Действия с комплексными числами

Теоретическое введение

Комплексные числа

На множестве действительных чисел не существует такого числа, которое являлось бы корнем простейшего алгебраического уравнения

х2 +1 = 0(поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен). Поэтому возникла потребность расширить множество действительных чисел таким образом, чтобы новое множество содержало корни всех алгебраических уравнений. Введение комплексных чисел позволяет достигнуть этой цели. Прежде всего введем новый символ – i , который называют мнимой едини-

цей таким образом, что i2 = −1. Тогда корни уравнения x2 +1 = 0 запишутся как x = ± −1 = ±i .

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Комплексное число в алгебраической форме записывается как z = x + iy .

Здесь x – действительное число, называемое реальной или действительной частью комплексного числа. Обозначают: x = Re z . Действительное число y называют мнимой частью комплексного числа. Обозначают: y = Im z .

Таким образом, комплексное число – это упорядоченная пара действи-

тельных чисел (х; у). Если y = 0 , то комплексное число совпадает с действительным и изображается точкой на действительной оси ОХ. При х = 0 получаются чисто мнимые числа (0; у)= 0 + iy , которые изображаются точкой на мнимой оси OY. Комплексное число z = (x; у)= x + iy можно отождествить с

точкой плоскости OXY или радиусом – вектором rr = (x; у)= xi + yj . Плоскость OXY будем называть комплексной плоскостью (рис. 1)

29

Рис. 1

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части:

x1 + iy1 = x2 + iy2 x1 = x2 ; y1 = y2 .

Два комплексных числа называют сопряженными, если действительные

z2